Tiêu đề Chuyên đề 3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG.doc ✅

CHUYÊN ĐỀ 3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. Kiến thức cần nhớ 1. Định lí Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: • Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề; • Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề Trong hình bên thì: sincos;sincos tancot;tancot baBaCcaCaB bcBcCcbCbB   2. Giải tam giác vuông Là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông B khi biết hai yếu tố của nó (trong đó ít nhất có một yếu tố về độ dài). B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, B . Tính giá trị của  để BH = 3CH. Giải Đặt AH = h. Xét ABH vuông tại H ta có: BH = AH.cot B = h.cot . Xét ACH vuông tại H ta có: CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan . 2 1 3.cot3.tan3tan tan 13 tantantan3030 33 BHCHhh     Nhận xét: Trong bài giải ta đã biểu diễn BH và CH theo AH và theo một tỉ số lượng giác của góc . Từ mối quan hệ giữa BH và CH ta tìm được giá trị của . Ví dụ 2. Giải tam giác ABC biết 35,50BC và đường cao AH = 5,0cm. Giải Ta phải tìm A , AB, AC và BC.  18095ABC • Xét ABH vuông tại H ta có: 5,0.sinB8,7 sinBsin35 AH AHABABcm  .cotB5,0.cot357,1BHAHcm • Xét ACH vuông tại H ta có: 5,0.sin6,5 sinsin50 AH AHACCACcm C  .cot5,0.cot504,2CHAHCcm Do đó 7,14,211,3BCBHCHcm Vậy 95;8,7;6,5;11,3AABcmACcmBCcm Lưu ý: Sau khi tính được AB và AC, có thể tính BH và CH theo AB và AC: .cos;.cosBHABBCHACC Tuy nhiên, ta nên tính BH và CH theo các số đo đã cho trong đề bài để kết quả được chính xác hơn. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định. Biết BC = 4cm, AB + AC = 8cm. Tính giá trị lớn nhất của góc A. Giải
Vẽ đường phân giác AD. Vẽ BH  AD và CK  AD. Xét ABH vuông tại H, ACK vuông tại K, ta có: .sin;sin 22 AA BHABCKAC Vậy sin8sin 22 AA BHCKABAC Mặt khác , 4BHCKBDCDBCcm nên 1 8sin4sinsin30 222 AA  Do đó   3060 2 A A vậy max60A khi D, H, K trùng nhau  ABC đểu. Nhận xét: Nhờ có việc vẽ đường phân giác AD và các đường thẳng BH, CK cùng vuông góc với AD mà ta tìm được sự liên hệ giữa AB, AC với BH, CK; sự liên hệ giữa BH, CK với BC. Do đó giữa AB, AC và BC có sự liên hệ với nhau, từ đó tìm được số đo của góc A. Ví dụ 4. Chứng minh định lí côsin: Trong một tam giác nhọn, bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của hai cạnh ấy với côsin của góc xen giữa của chúng. Giải Vẽ đường cao BH. Xét HBC vuông tại H ta có:    2 2222 222 222 22 2. 2. 2.1 BCHBHCHBACAH HBACACAHAH HBAHACACAH ABACACAH     Xét ABH vuông tại H ta có : AH = AB. cosA Thay vào (1) ta được 2222..cosABCABACACAB Nhận xét: Trong một tam giác nhọn, nếu biết hai cạnh và góc xen giữa thì nhờ định lí côsin ta có thế tính được cạnh thứ ba. C. Bài tập vận dụng • Vận dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để chứng minh hoặc tính toán 3.1. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng: a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C; b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. Giải a) ACD vuông tại D, có AD = ACsin C. ABE vuông tại E, có BE = ABsin A. BCF vuông tại F, có CF = BCsin B. Suy ra AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C. b) ABE vuông tại E, có AE = ABcos A. BCF vuông tại F, có BF = BCcos B. ACD vuông tại D, có CD = ACcos C. Suy ra AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. 3.2. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AA', BB', CC’. Chứng minh rằng: '.'.''.'.'...cos.cos.cosABBCCAABBCCAABBCCAABC Giải
ABB' vuông tại B', có AB' = ABcos A. BCC’ vuông tại C', có BC' = BCcos B. CAA' vuông tại A', có CA' = ACcos C. Suy ra AB'.BC'.CA' = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. Chứng minh tương tự ta được: A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. Do đó AB’.BC’.CA' = A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. Nhận xét: Vì ba đường cao tam giác cùng đi qua một điểm nên nếu đề bài chỉ yêu cầu chứng minh AB'.BC’.CA' = A'B.B'C.C’A thì theo định lí Xê-va ta có ''' ..1 '''B ABBCCA ACBAC từ đó suy ra ngay đpcm. 3.3. Cho đường thẳng xy và điểm A cố định cách xy là 2cm. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ tam giác ABM vuông tại M sao cho  090ABM . Tính độ dài ngắn nhất của AB. Giải ABM vuông tại M, có .sin sin AM AMABAB  Do đó AB ngắn nhất  AM ngắn nhất 2MHAMcm Vậy 2 min sinAB  khi MH 3.4. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định và 33BCcm . Điểm A di động sao cho AB + AC = 6cm. Tính giá trị lớn nhất của góc A. Giải Vẽ đường phân giác AD. Vẽ BH  AD, CK  AD. Ta có ,BHBDCKCD Suy ra BHCKBDCDBC ABH vuông tại H, có: .sin 2 A BHAB ACK vuông tại K, có: .sin 2 A CKAC Do đó .sin6sin 22 AA BHCKABAC mà 33BHCKBCcm nên 6sin33 2 A  Do đó 333 sinsin60 262 A  . Suy ra   60120 2 A A Vậy max120A khi HKD  ABC vuông cân tại A. 3.5. Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm và 40B . Tính độ dài BC. Giải * Tìm cách giải Vẽ đường cao AH để vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Tính HB và HC từ đó tính được BC. * Trình bày lời giải Vẽ đường cao AH. Xét ABH vuông tại H có:   .sin14sin409.0 .cos14.cos4010,7 AHABBcm BHABBcm   Xét AHC vuông tại H có: 22221196,3HCACAHcm • Nếu H nằm giữa B và C thì 10,76,317BCBHHCcm
• Nếu C’ nằm giữa B và H thì ''10,76,34,4BCBHHCcm 3.6. Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm và 70B . Tính độ dài BC. Giải Vẽ đường cao AH. Xét ABH vuông tại H có:   .sin3,2sin703,0 .cos3,2.cos701,1 AHABBcm BHABBcm   Xét AHC vuông tại H có: 22225,03,04,0HCACAHcm Điểm C không thể nằm giữa H và B vì trên tia HB có HC > HB. Chỉ còn trường hợp điểm H nằm giữa B và C. Ta có 1,14,05,1BCBHHCcm 3.7. Cho tam giác ABC cân tại A, góc ở đáy bằng  < 90°. Vẽ các đường cao AH và BK. Biết BK = h, tính AH. Giải Xét KBC vuông tại K, có: .sin sinsin BKh BKBCBC  Vì ABC cân tại A nên 2sin h HBHC  Xét AHC vuông tại H có: sin .tan. 2sincos2cos hh AHHC   3.8. Cho tam giác ABC, 40,65BC a) Tính số đo của góc tạo thành bởi đường cao AH và đường trung tuyến AM (làm tròn đến độ); b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm tròn đến centimet). Giải Đặt MAH a) Xét ABH và AHC vuông tại H ta có: cot;cot;tanBHAHBCHAHCMHAH Ta có 2BHCHBMMHCMMHMH Do đó cotcot2tanAHBAHCAH Suy ra cotcot2tanBC Hay cotcotcot40cot65 tan0,3627 22 BC   tantan1956'20 b) Ta có BH + CH = BC hay cotcot45cotcot45AHBAHCAHBC Suy ra 454527 cotcotcot40cot65AHcm BC  3.9. Tam giác ABC là tam giác nhọn hay tam giác tù nếu có: a) 50A , AB = 2,4cm, AC = 6,2cm; b) 55A , AB = 3,5cm, AC = 4,5cm. Giải a) Vẽ CH  AB. Xét ACH vuông tại H, ta có: .cos6,2.cos504,0AHACAcm Trên tia AB có AB < AH nên điểm B nằm giữa A và H. Suy ra 90ABCH Vậy ABC là tam giác tù. b) Vẽ CH  AB, BK  AC. Xét ACH vuông tại H, ta có: