Tiêu đề Normalisé 1 Session Mai 2SM25+Correction.pdf ✅

Page 1/34 R O Y A U M E DU M A R O C Royaume du MAROC Ministère de l’Education Nationale du Préscolaire et des Sports Lycée Ibn toufail Oued-zem Baccalauréat Sciences Mathématiques Série : Sciences Mathématiques A Normalise 1 - SESSION MAI 2025 DURÉE DE L’ÉPREUVE : 4 heures NOTES DE L’ÉPREUVE : 20 POINTS CONSIGNES : — L’épreuve contient 3 exercices et un problème . — les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par l’élève. . — L’usage de la calculatrice non programmable est autorisé. — L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé . — Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. — Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction. — La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée. — Certaines notations sont utilisées dans différents exercices, toutefois chaque no- tation ne concerne que l’exercice où elle est utilisée et ne dépend ni des exercices précédents ni des exercices suivants. — Si l’élève repère ce qu’il pense être une erreur de l’énoncé, il le signale sur sa copie en expliquant les raisons qui l’ont amené à le penser. Ceci ne doit pas l’empêcher de finir son épreuve et il a le choix d’adopter les rectifications qu’il croit nécessaires ou pas. Ce sujet comporte 3 exercices et un problème : • Problème : Problème d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10,00 points • Exercice 1 : Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,50 points • Exercice 2 : Arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,00 points • Exercice 3 : Structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,50 points Réalisé par : Prof. Bouazza LOUKILIA
Prof : Bouazza LOUKILIA 2/4 Page 2/34 2 BAC SMF Problème : (10,00 points) On considère la fonction f définie sur ] − 1; +∞[ par : f(x) = 2x 1 + x − ln(1 + x) Soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Partie I : 1 - a) Calculer lim x→−1+ f(x) et lim x→+∞ 0.75 pt f(x), puis déduire les branches infinies. 0.5 pt b) Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations. 0.5 pt c) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet deux solutions 0 et α telles que α > 1, et déduire le signe de f(x). 0.5 pt d) Tracer la courbe (C). 2 - Soit n ∈ N tel que n ≥ 4. a) Montrer que l’équation f(x) = 1 n 0.25 pt admet une unique solution un dans l’intervalle ]0; 1[. 0.5 pt b) Montrer que la suite (un) est décroissante et déduire qu’elle est convergente. Déterminer lim n→+∞ un. Partie II : On définit la fonction φ par    φ(t) = ln(1 + t 2 ) t si t ̸= 0 φ(0) = 0 0.25 pt 1 - a) Vérifier que la fonction φ est impaire. 0.5 pt b) Étudier la continuité et la dérivabilité de φ en 0. c) Montrer que : φ ′ (t) = 1 t 2 f(t 2 ), pour tout t ∈ R ∗ 0.5 pt . 0.25 pt d) Dresser le tableau de variations de φ. 2 - On considère la fonction g définie par : g(x) = Z x 0 φ(t) dt 0.25 pt a) Montrer que g est une fonction paire. b) Montrer que g est dérivable sur R et calculer g ′ 0.5 pt (x). 0.25 pt c) Dresser le tableau de variations de g. d) Calculer I = Z x 1 2 t 0.25 pt ln(t) dt. 0.25 pt e) Déduire que : (∀x ≥ 1), g(x) − g(1) = (ln(x))2 + Z x 1 1 t ln 1 + 1 t 2 dt 0.25 pt f ) Montrer que, pour x ≥ 0, ln(1 + x) ≤ x. 0.25 pt g) Déduire que : (∀x ≥ 1), 0 ≤ Z x 1 1 t ln 1 + 1 t 2 dt ≤ 1 2 h) Calculer lim x→+∞ g(x) et lim x→+∞ g(x) x 0.75 pt , puis déduire la nature de la branche infinie en +∞. Partie III : On considère la suite (Sn) définie par Sn = Xn k=1 f 1 k 0.5 pt 1 - Montrer que : (∀k ∈ N ∗ ), ln(1 + k) − ln(k) < 1 k Normalisé 1 - SESSION Mai 2025 - 2/4 Année scolaire: 2024/2025
Prof : Bouazza LOUKILIA 3/4 Page 3/34 2 BAC SMF 0.5 pt 2 - Montrer que : (∀k ∈ N ∗ ), 2 ln(k + 2) − 3 ln(k + 1) + ln(k) < f 1 k 0.25 pt 3 - Déduire que : (∀k ∈ N ∗ ), 2 ln k + 2 k + 1 − ln k + 1 k < f 1 k 0.25 pt 4 - Déduire que : (∀n ∈ N ∗ ), ln (n + 2)2 4(n + 1)! < Sn puis calculer lim n→+∞ Sn. Partie IV : Dans cette partie, on suppose que x ∈ [0, 1]. 0.25 pt 1 - Montrer que : (∀n ∈ N ∗ ), 1 1 + x = Xn k=0 (−1)kx k + (−1)n+1 x n+1 1 + x 0.5 pt 2 - Montrer que : (∀n ∈ N ∗ ), ln(1 + x) = nX +1 k=1 (−1)k−1 x k k + (−1)n+1 Z x 0 t n+1 1 + t dt 0.25 pt 3 - Déduire que : f(x) = nX +1 k=1 (−1)k−1 2k − 1 k x k + 2(−1)n+1x n+2 1 + x + (−1)n+2 Z x 0 t n+1 1 + t dt 0.25 pt 4 - Montrer que : 0 ≤ Z x 0 t n+1 1 + t dt ≤ x n+2 0.25 pt 5 - Déduire que : lim n→+∞ Z x 0 t n+1 1 + t dt = 0 0.25 pt 6 - Montrer que : (∀x ∈]0, 1[), f(x) = lim n→+∞ Xn k=1 (−1)k−1 2k − 1 k x k ! Exercice 1: (3,50 points) Partie I : On considère dans l’ensemble C l’équation (E) : 2z 2 + 3 √ 3 − 7i z − 6 1 + i √ 3 = 0 0.25 pt 1 - a) Montrer que l’équation (E) admet une solution imaginaire pure z1 que l’on déterminera. b) En déduire que l’autre solution de l’équation (E) est z2 = 3 2 − √ 3 + i 0.5 pt . Puis écrire cette solution sous forme trigonométrique. 2 - Dans le plan complexe, on considère les points A et B d’affixes respectifs a = 2i et b = 3 2 − √ 3 + i . On désigne par C le centre du cercle (Γ) circonscrit au triangle OAB et soit R son rayon, on pose : c = aff(C). a) Montrer que : c − c = 2i et c + c = −4 √ 3 3 0.5 pt . 0.5 pt b) En déduire c et R. Normalisé 1 - SESSION Mai 2025 - 3/4 Année scolaire: 2024/2025