Tiêu đề Bài 01_Dạng 02. Tính khoảng cách trong không gian_GV.pdf ✅

GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 1 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Dạng 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Phương pháp: Tính khoảng cách từ điểm M x y z 0 0 0 0 ( ; ; ) đến mặt phẳng ( ) : 0 P Ax By Cz D + + + = như sau : Bước 1: Tìm M x y z 0 0 0 0 ( ; ; ) ; viết phương trình mặt phẳng (P Ax By Cz D ): 0 + + + = . Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng (P Ax By Cz D ): 0 + + + = theo công thức: ( ( )) 0 0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D d M P A B C + + + = + + Lưu ý: ( ( )) ( ) 2 0 0 d M Oxy z , = và ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 d M Ox y z , = + Bài tập 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (Q x y z ): 2 2 3 0 + + − = và mặt phẳng (P) không qua O , song song mặt phẳng (Q) và d P Q (( ); 1. ( )) = Viết phương trình mặt phẳng (P) Lời giải Gọi phương trình mặt phẳng (P) có dạng x y z d + + + = 2 2 0 Với d d   − 0; 3. Có (( ) ( )) 222 3 0 ; 1 1 1 2 2 6 d d d P Q d +  = =  =   + +  = − . Kết hợp điều kiện  (P) có dạng: x y z + + − = 2 2 6 0 . Bài tập 2: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P x y z ): 2 2 5 0 − + − = . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) , cách (P) một khoảng bằng 3 và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ dương. Lời giải Ta có (Q P )//( ) nên mặt phẳng (Q x y z C ): 2 2 0 − + + = ; C −5, chọn M P (0;0;5)( ) Ta có (( ) ( )) ( ( )) ( ) 2 2 2 5 ; ; 3 2 2 1 C d P Q d M Q + = = = + − + 4 14 C C  =    = − Với C Q x y z =  − + + = 4 : 2 2 4 0 ( ) khi đó (Q) cắt Ox tại điểm M1 (−2;0;0) có hoành độ âm nên trường hợp này (Q) không thỏa đề bài. Với C Q x y z = −  − + − = 14 : 2 2 14 0 ( ) khi đó (Q) cắt Ox tại điểm M2 (7;0;0) có hoành độ dương do đó (Q x y z ): 2 2 14 0 − + − = thỏa đề bài. Vậy phương trình mặt phẳng (Q x y z ): 2 2 14 0 − + − = . Bài tập 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC DEF . biết rằng AB = 6 , AD = 2 . Gọi ba điểm M , N , P lần lượt là trung điểm DE , DF , BC . Lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình bên. Gọi điểm S thỏa mãn hệ thức SA SB SC + + = 2 0 . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (MNP). Lời giải Ta có P(0;0;0), A(3 3;0;0) , B(0;3;0), C(0; 3;0 − ), E(0;3;2), F(0; 3;2 − ), D(3 3;0;2) BÀI TẬP TỰ LUẬN
2 GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Suy ra 333; ;2 2 2 M         , 3 3 3 ; ;2 2 2 N   −       . Ta có 9 3 , 6;0; 2 PM PN   −   =          = − n (4;0; 3 3). Phương trình mặt phẳng (MNP) là 4 3 3 0 x z − = . Gọi I , J lần lượt là trung điểm cạnh AC , IB 3 3 3 ; ;0 2 2 I   −        , 333; ;0 4 4 J         . Ta có SA SB SC SI SB SJ S J + + =  + =  =   2 0 2 2 0 4 0 . Do đó 333; ;0 4 4 S         . Vậy khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (MNP) bằng d = 3 3 . Bài tập 4: Cho hình lập phương ABCD EFGH . cạnh 1. Điểm M được cho thỏa mãn hệ thức vectơ AM AE CD + = 3 . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (EBD) . Lời giải Ta có A(0;0;0), AE = (0;0;1), CD = −( 1;0;0).
GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 3 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Đặt M a b c ( ; ; ) , suy ra AM a b c = ( ; ; ). Đề cho AM AE CD + = 3 , ta được 0 3 3 0 0 0 1 0 1 a a b b c c  + = − = −      + =  =    + = = −  . Suy ra M (− − 3;0; 1). Mặt phẳng (EBD) , phương trình theo đoạn chắn là x y z + + − =1 0 . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (EBD) bằng ( ( )) 2 2 2 2 2 2 3 0 1 1 5 3 ; 111 3 Ax By Cz D d M EBD A B C + + + − + − − = = = + + + + . Vậy khoảng cách bằng 5 3 3 . Bài tập 5: Phần mềm điều khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm M (3;4;24) (đơn vị: cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình z − = 4 0 . Lời giải Ta có phương trình mặt phẳng là (P z ): 4 0 − = Khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in là: ( ( )) 24 4 , 20 1 d M P − = = . Bài tập 5: Phần mềm của máy tiện kĩ thuật số CNC (Computer Numerical Control) đang biểu diễn một chi tiết máy như hình vẽ dưới đây: a) Tìm tọa độ các điểm A, B , C , D . b) Viết phương trình mặt phẳng ( ABC) và mặt phẳng ( ACD). c) Cho biết đầu mũi tiện đang đặt tại điểm M (0; 60; 40) . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ABC). Lời giải a) Ta có A(70; 0; 0), B(70; 0; 60 − ), C(70; 80; 0), D(50; 0; 0).
4 GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI b) Mặt phẳng ( ABC) đi qua A(70; 0; 0) và vuông góc với trục Ox nên có vectơ pháp tuyến là: i = (1; 0; 0). Suy ra mặt phẳng ( ABC) có phương trình là: 1 70 0 ( x − =)  − = x 70 0 . Mặt phẳng ( ACD) đi qua A(70; 0; 0) và vuông góc với trục Oz nên có vectơ pháp tuyến là: k = (0; 0;1). Suy ra mặt phẳng ( ACD) có phương trình là: 1 0 0 (z − =)  =z 0 . c) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ABC) là: ( ( )) 0 70 , 70 1 d M ABC − = = . Bài tập 6: Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng (Oxy) . Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng (P x y ): 2 5 0 − + = và (Q x y ): 2 3z 20 0 − − + = . Hỏi là chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà lên nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) là bao nhiêu? Lời giải Những điểm thuộc đường nóc nhà có tọa độ thỏa mãn hệ 2 5 0 2 3 20 0 x y x y z  − + =   − − + = . Từ phương trình thứ nhất chọn x y = −  = 5 0 . Thay vào phương trình còn lại ta được z = 5 Vậy điểm A(−5;0;5) là một điểm thuộc đường nóc nhà. Khi đó chiều cao cần tìm của của ngôi nhà là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy) và bằng 5 mét. Bài tập 7: Hình bên dưới minh hoạ một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều cạnh đáy dài 1m và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm A B C (2;1;3 , 4;3;3 , 6;3;3 ) ( ) ( ), D(4;0;2,5) . Giám sát công trình tính toán nhận thấy A B C D , , , không đồng phẳng, yêu cầu bên nhà thầu tính khối lượng bê tông cần bổ sung để