Tiêu đề Đề Thi Olympic Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2017 [Đáp Án].pdf ✅

14 CH◊ÃNG 1. BÀ ó THI HSGSO 2014 2019 Ngày thi th ̆ hai (07/05/2017). Bài 5. Tìm tßt c£ các bÎ sË nguyên không âm (m, n, k) th‰a mãn k2 k +4=5m(2 + 10n). Bài 6. Cho tam giác ABC nhÂn, không cân, nÎi ti∏p trong ̃Ìng tròn (O), I là tâm ̃Ìng tròn nÎi ti∏p tam giác ABC. AI c≠t BC t§i D và c≠t (O) t§i K khác A. P là mÎt i∫m trên ̃Ìng tròn ngo§i ti∏p tam giác BIC và n ̈m trong tam giác ABC. PK c≠t BC t§i L. AL c≠t (O) t§i F khác A. Gi£ s ̊ KF c≠t BC t§i T. Q Ëi x ̆ng vÓi P qua K. AQ c≠t (O) t§i R khác A. a) Ch ̆ng minh r ̈ng P T song song KR. b) GÂi giao i∫m cıa AP và (O) là E khác A. Ch ̆ng minh r ̈ng tam giác KEP và KET có dian tích b ̈ng nhau. Bài 7. Gi£ s ̊ A = (a1, a2,...,an) gÁm các sË thuÎc tTMp M = {1, 2,...,m} sao cho a1 + a2 + a3 + ... + an = 2S vÓi S là sË nguyên chia h∏t cho mÂi phân t ̊ cıa M. Ch ̆ng minh r ̈ng ng ̃Ìi ta có th∫ chÂn t ̄ A mÎt sË sË có tÍng b ̈ng S.
2.4. NãM 2017 37 2.4 N ́m 2017 Bài 1. Cho dãy sË (an) xác ‡nh bi a1 = 2017 và an+1 = a3 n a2 n 3an + 4 vÓi mÂi sË nguyên d ̃Ïng n 1. Tìm giá tr‡ nh‰ nhßt cıa n ∫ an 2 chia h∏t cho 52017. LÌi gi£i. ∞t bn = an 2, ta có b1 = 2015 và công th ̆c truy hÁi ã cho tr thành bn+1 +2=(bn + 2)3 (bn + 2)2 3(bn + 2) + 4, 8n 1 hay bn+1 = b3 n + 5b2 n + 5bn, 8n 1. B ̈ng quy n§p, ta dπ dàng ch ̆ng minh ̃Òc bn . . . 5, 8n 1. T ̄ ó 5(bn+1) = 5(bn) + 5(b2 n + 5bn + 5) = 5(bn)+1, 8n 1. K∏t hÒp vÓi 5(b1)=1 ta ̃Òc 5(bn) = n, 8n 1. Do ó, chø sË n nh‰ nhßt ∫ bn = an 2 chia h∏t cho 52017 là 2017. Bài 2. Tìm tßt c£ các a th ̆c P(x) vÓi ha sË th ̧c sao cho P(a) 2 + P(b) 2 + P(c) 2 = P(a + b + c) 2 + 2 vÓi mÂi bÎ sË (a, b, c) th‰a mãn ab + bc + ca +1=0 LÌi gi£i. Rõ ràng bÎ (a, b, c)=(x + 1, 2x 1, 2x 3), vÓi x 2 R tùy ̨ luôn th‰a mãn ab + bc + ca +1=0 nên ta có P(x + 1)2 + P( 2x 1)2 + P( 2x 3)2 = P( 3x 3)2 + 2, 8x 2 R. Dπ thßy P ⌘ c không th‰a mãn, ∞t deg P = n 1. So sánh ha sË cıa x2n  2 v∏, ta ̃Òc 1+22n + 22n = 32n , 1+22n+1 = 32n. Dπ thßy n∏u n > 1 thì 32n = 9n > 8n = 23n 22n+2 > 1+22n+1 nên chø có n = 1 th‰a mãn ph ̃Ïng trình trên. Do ó P(x) = ↵x+ , thay vào ph ̃Ïng trình ã cho ta ̃Òc ↵2 + 2 = 1. VTMy a th ̆c c¶n tìm là P(x) = cost + x sin t , vÓi t 2 R. NhTMn xét. Ta có th∫ thay (a, b, c) bi các bÎ (2x 1, 2x+ 1, x) hay (x, 1 x, x2 x 1) thì ∑u thu ̃Òc k∏t qu£ t ̃Ïng t ̧.