Tiêu đề Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Bến Tre Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2017-2018 [Đáp Án].pdf ✅

- 1 - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể phát đề) Câu 1 (4 điểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:      3 2 3 2 x x xy y y 2 100 . Câu 2 (4 điểm) Tìm các hàm số f : [2; ) [2; )    thỏa mãn             2 ( ) 2 2 . (1 ) ( ( )) 1 x f x x x f x f x với mọi x  [2; )  . Câu 3 (4 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) biết               2 3 2 1 1 2 2 1 2( 2) ( 4 5 2) , 673, , , 1. 2 3 n n n n u n n n u u u u n n n Câu 4 (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn O. Gọi P là một điểm trên đường thẳng AC sao cho PB và PD là các tiếp tuyến của O. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt đường thẳng PD và AD lần lượt tại Q và R . Gọi E là giao điểm thứ hai của AQ và đường tròn O. Chứng minh rằng ba điểm B E R , , thẳng hàng. Câu 5 (4 điểm) Cho các số thực a b c , , thỏa mãn 2 2 2 0 6 a b c a b c          . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 T a b b c c a    . HẾT
- 2 - Câu Nội dung Điểm 1) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:      3 2 3 2 x x xy y y 2 100 . 4đ Đặt x y d d   , . Khi đó ta có phương trình       3 2 3 2 y d y d y d y y y    2 100 0          2 2 3 2  3 4 3 4 100 0 d y d d y d d        (1). Với mọi d  thì 3 4 0 d   . Do đó điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là      2 2 3 2 4 3 3 4 4 3 4 100 0 3 4 1200 1600 0 d d d d d d d d            1 Nếu d 8 thì 4 3 3 3 3 3 4 1200 1600 24 4 1200 1600 20 1200 1600 d d d d d d d d           1280 1200 1600 80 1600 0 d d d      . Nếu d 0 thì dễ thấy 4 3 3 4 1200 1600 0 d d d     . 1 Do đó d 1,2,...,7. Kiểm tra trực tiếp, ta nhận thấy phương trình chỉ có nghiệm nguyên khi d  2 hoặc d  5 . 1 Khi d  2 thì y  6 hoặc y 8. Từ đó ta có nghiệm 8,6 hoặc 6; 8  . Khi d  5 thì y  0 hoặc y 5. Từ đó ta có nghiệm 5,0 hoặc 0; 5  . Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên 8,6,6, 8 , 5,0 , 0, 5       . 1 2) Tìm tất cả các hàm số f : [2; ) [2; )    thỏa mãn             2 ( ) 2 2 . (1 ) ( ( )) 1 x f x x x f x f x với mọi x  [2; )  . 4đ Với mọi x[2; )  , ta có 2 2 1 1 1 ( ( )) 1 ( 1) 1 ( 1) ( ) 1 2 2 2 f x xf x x x x f x x x                     1
- 3 - 2 2 2 3 3 ( ( )) 1 ( 1) 1 2 4 3 1 ( ) 1 4 2 f x xf x x x x f x x x                           . Chứng minh quy nạp ta được 1 * ( ) 1 , ( ) 1 2 k f x x k f x x         (a). 0.5 Mặt khác, với mọi x[2; )  ta lại có 2 2 1 2 ( ( )) 1 ( 1) 1 (2( 2)) 2( 1) ( ) 2( 1) 2 ( 1) f x xf x x x x f x x x              ; 2 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ( )) 1 ( 1) 1 (2 ( 2)) 2 ( 1) ( ) 2 ( 1) f x xf x x x x f x x            . 1 Chứng minh quy nạp ta được 1 2 * ( ) 2 ( 1), ( ) 1 ( ). k f x x k f x x b         0.5 Từ (a), (b) suy ra f x x ( ) 1   . Thử lại thấy đúng. 1 3) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) biết               2 3 2 1 1 2 2 1 2( 2) ( 4 5 2) , 673, , , 1. 2 3 n n n n u n n n u u u u n n n 4đ Giả thiết suy ra với n n , 1,  có 2 2 2 1 ( 3) 2( 2) ( 2)( 1) n n n n u n u n n u         2 2 1 3 2( 2) ( 1) 2 n n n n u n u n u n          2 2 1 1 3 ( 3) ( 1) ( 1) . 2 n n n n n u n u n u n u n             1 Đặt ! n n u n v  , n n , 1  thì được 2 1 1 ( 3) ( 3) ( 1) ( 1) n n n n n v n v n v n v           2 1 1 ( 3)( ) ( 1)( ). n n n n n v v n v v          Đặt w v v n n n   1 , n n  , 2  thì được 1 ( 1) ( 1) n n n w n w     1 1 ( 1) ( 1) n n  n nw n n w     . 1
- 4 - Do đó 1 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1)( 2) ... 3.2. 6( ) 2016. n n n n nw n n w n n w w v v              Như vậy 2016 1 1 2016( ) ( 1) 1 wn n n n n      , n n  , 2  . Từ đó, với n n , 1  , có 1 1 1 1 2016( ) 2016 2 1 1 n n v v n n        4033 4031 . 2( 1) n n v n     Vậy 4033 4031 ! , 2( 1) n n u n n    n n , 1  . 1 4) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn O. Gọi P là một điểm trên đường thẳng AC sao cho PB và PD là các tiếp tuyến của O. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt đường thẳng PD và AD lần lượt tại Q và R . Gọi E là giao điểm thứ hai của AQ và đường tròn O. Chứng minh rằng ba điểm B E R , , thẳng hàng. 4đ  Để chứng minh ba điểm B E R , , là thẳng hàng Ta đi chứng minh ba đường thẳng AD BE CQ , , đồng quy. Giả sử BE AD R    . Ta sẽ chứng minh RD R D RA R A    hay R R . 1 Q R' E R O P A B C D