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Cálculo II VECTORES 1. Si A   2, 2, 1 y B  5,1, 2 . Hallar A B 3 . R: 17,5,5 . 2. Dado el tetraedro OABC en la base de las aristas OA, OB y OC. Hallar las componentes: a) Del Vector DE⃗⃗⃗⃗⃗ , donde D y E los puntos medios de las aristas OA y BC. R. 111 , , 222  b) Del Vector OF⃗⃗⃗⃗⃗ , donde F es el punto de intersección de las medianas de la base ABC. R. 111 , , 333 3. Si A   2, 2, 2 ; B  1,3,5 . Hallar el vector X , tal que se cumpla la igualdad: 2 3 5 3 2 3 A B X A B X      . 4. En el tetraedro OABC la mediana AL de la arista ABC se divide por el punto M en razón: ‖AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖: ‖ML ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 3: 7. Hallar el vector O⃗⃗⃗⃗M⃗⃗ en la base de las aristas OA, OB, OC. R. 1, 1/ , 1  l . 5. Dados los puntos A(1, 2,3), B(2, 1, 2)  y C( 1,1,3)  . Hallar la resultante de AB AC BC   . 6. En el trapecio OBCD se conoce la razón entre las longitudes de las bases ‖AB⃗⃗⃗⃗⃗ ‖/‖CD⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 1. Hallar las componentes del vector CB⃗⃗⃗⃗⃗ en la base formada por los vectores AB⃗⃗⃗⃗⃗ y AD⃗⃗⃗⃗⃗ . 7. Demostrar que 2 2 A B A B A B     4( ) . 8. Demostrar que las diagonales de un trapecio y la recta que une los puntos medios de los lados paralelos, se cortan en un mismo punto. 9. Si A   1, 2, 1 y B  1,3,1 . Hallar: a) A B  2 b) 2A B c) 2 A B d) 2 A B 10. Hallar A B , si A 11, B  23 y A B  30 11. Si A y B , son vectores no paralelos tales que C m n A m n B      ( 1) ( ) ; D m n A m n B      ( ) (2 1) , hallar “m” y “n”, tales que C D  3 . R: 2 3 m   , 1 12 n   12. Hallar A B A (2 )  , si A  3, B  4 , C  6 y A B C    0. 13. Probar que si  es el ángulo que forman los vectores A y B , entonces A B tg A B    .
Cálculo II 14. En el paralelogramo ABCD se designan como: AB U , AD V , los vectores MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , donde M es el punto de intersección de las diagonales del paralelogramo dado. 15. Hallar un vector unitario del vector S a T : a) S(9, 2, 1)  ; T( 3,5, 5)   b) S(2, 2, 1)   ; T( 4, 5,1)   c) S(1, 2,5)  ; T(4,0,11) 16. Determinar el valor de K para que los 4 puntos A(1, 2, 2)  , B(0,1,5), C( 1, 2,1)  y C k( ,1,3) , estén situados en un solo plano. R. k=2 17. Calcular el área de un paralelogramo si u  1,5,0 y v  3,3, 2 , son las diagonales del paralelogramo. R: 2 62u 18. Si U y V son dos vectores que forman entre si un ángulo de 45° y U  3 . Hallar V , de modo que U V y U , sean ortogonales. 19. Mediante vectores calcular los ángulos interiores del triángulo formado por los vértices: A( 1,0, 2)  , B(2,1, 1)  y C(1, 2, 2)  . R:    71.1 ,    37.9 ,    71.1 20. Escribir el vector V  0,1, 4 , como suma de un vector V1 paralelo a U  1,1,0 y otro V2 perpendicular a U . 21. Para un vector U del espacio 3 V , se tiene 3 cos 10   , 2 cos 5   , calcular el ángulo  . 22. Dados los vectores: U   1, 2, 1 , V   1, 0, 1 y W  1, 2,3 , calcular: a) Pr U oy W b) Pr V oy W c) Pr U oy U 23. Demostrar que Pr ( ) Pr Pr C C C oy A B oy A oy B    . 24. Para que valores de m los vectores A m  , 2,1 y B m m   2 , , 4 son perpendiculares. R. m 1, m  2 25. Si A   4, 2,1 y B   2, 1,4 . Hallar la componente escalar del vector V A B   3 2 , sobre el vector W A B   2 3 . R: 10 3 . 26. Hallar los vectores B , tales que A B C   si A   3, 1, 2 y C  2, 4,5 . 27. Se dan los vértices de un triángulo A( 1,3, 4)  , B( 5,6, 4)   y C(1, 2,6) , además BD es la altura del triángulo trazada por el vértice B. Hallar las coordenadas del vértice D. R: D( 7,6, 2)   28. Dados los vectores U   1, 2, 1 , V   1, 0, 1 y W  1, 2,3 . Calcular: a) U V
Cálculo II b) 2 3 U V  c) U V W   ( ) d) V W U   ( ) e) ( ) ( ) U V U V   f) ( ) ( ) U V U W   g) ( ) ( ) U V U V    h) ( ) U V W   i) UUU   29. Dados los puntos A(2, 1, 2)  , B(1, 2, 1)  , C(3, 2,1) . Hallar el vector: CB BC CA   ( 2 ) . R: 12, 8, 12   . 30. Si A B   5 , y el ángulo formado entre A y B es 45°. Calcular el área del triángulo determinado por los vectores A B  2 y 3 2 A B  31. Determinar el valor de “p”, para que el vector U p  1, 2, , sea simultáneamente paralelo a los vectores V   2, 1,0 y W    1, 3, 1 . R: p 5 32. Si A m   3, , 3 y B   5, 4,1 . Hallar el valor de “m”, de tal modo que B sea perpendicular a A B A   2 . R: m  3 . 33. Hallar Y , tales que Y X X Y    si X   1, 7,3 . 34. Probar que si  es el ángulo que forman los vectores no ortogonales A y B , entonces: A B tg A B    35. Demostrar que 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) A B A B A A B B A B      . 36. Dados los vectores perpendiculares A y B , si A  3 y B  2 3 . Hallar el valor de (2 3 ) (3 ) A B A B    . R: 66 37. Dados los vectores A    2, 1, 3 , B    1,1, 4 y C x x    1, 1,1 , que determinan un paralelepípedo de volumen 3 42cm . Hallar el valor de “x”. R: 5 2 x  . 38. Demostrar que: ( ) ( 2 2 ) (4 5 ) 0 A B C A B C A B C         39. Calcular el volumen del tetraedro OABC, si OA  3, 4,0 , OB   0, 3,1 , OC  0, 2,5 . R: 3 8.5   u   40. Demostrar que: ( ) ( ) ( 2 ) 3( ) A B A B C A B C A B C         41. Demostrar que: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) A B C D A B B D A D B C    