Tiêu đề ÔN TẬP CHƯƠNG 5_LỜI GIẢI.pdf ✅

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V A. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 1. Mặt phẳng (P x y z ): 3 4 5 6 0 − + − = có một vectơ pháp tuyến là: A. n1 = (3;4;5) . B. n2 = − (3; 4;5) . C. n3 = −( 3;4;5) . D. n4 = − (3;4; 5) . Lời giải Chọn B Mặt phẳng (P x y z ): 3 4 5 6 0 − + − = có một vectơ pháp tuyến là: n = − (3; 4;5) 2. Đường thẳng 2 3 1 : 3 6 9 x y z d − − − = = có một vectơ chỉ phương là: A. u1 = (2;3;1). B. u2 = (6;3;9). C. u3 = (3;9;6) . D. u4 = (1;2;3). Lời giải Chọn D Đường thẳng 2 3 1 : 3 6 9 x y z d − − − = = có một vectơ chỉ phương là: u = (3;6;9). Khi đó ( ) 1 1;2;3 3 u u  = = cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d. 3. a) Mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 S x y z : 11 12 13 100 − + − + − = có bán kính là: A. 10. B. 11. C. 12. D. 13. b) Toạ độ tâm của mặt cầu ( ) S : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z − + + + − = 5 6 7 8 là: A. (−5;6;7). B. (5;6; 7− ). C. (5; 6;7 − ). D. (−5;6;7). Lời giải a) Chọn A Mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 S x y z : 11 12 13 100 − + − + − = có bán kính là R = = 100 10 b) Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x y z x y z − + + + − =  − + 5 6 7 8 5 6 7 8   − − − = +   . Vậy tọa độ tâm của mặt cầu (S) là (5; 6;7 . − ) 4. Khoảng cách từ điểm M a b c ( ; ; ) đến mặt phẳng x a b c −−−= 0 là:
A. a b + . B. b c + . C. c a + . D. 2 2 2 b c a b c + + + . Lời giải Chọn B Khoảng cách từ điểm M a;b;c ( ) đến mặt phẳng x a b c −−−= 0 là: 222 1. 0. 0. 1 0 0 a b c a b c b c b c + + − − − = − − = + + + 5. Cho bốn điểm A B C (0;1;3 , 1;0;5 , 2;0;2 ) (− ) ( ) và D(1;1; 2− ). a) Tìm tọa độ của các vectơ AB AC , và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó. b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của các đường thẳng AB và AC . c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ABC) . d) Chứng minh rằng bốn điểm A B C D , , , không đồng phẳng. e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( ABC) . Lời giải a) Ta có AB AC = − − = − − ( 1; 1;2 , 2; 1; 1 ) ( ) . Xét vectơ ( ) 1 2 2 1 1 1 , ; ; 3;3;3 1 1 1 2 2 1 n AB AC   − − − − = = =         − − − −   Khi đó, n = (3;3;3) là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ AB AC , . b) + Đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận vectơ AB = − − ( 1; 1;2) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng AB là 1 3 2 x t y t z t  = −   = −  = +  ( t là tham số). Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là 1 3 1 1 2 x y z − − = = − − . + Đường thẳng AC đi qua điểm A và nhận vectơ AC = − − (2; 1; 1) làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng AC là 2 1 3 x t y t z t  =   = −  = −  ( t là tham số).
Phương trình chính tắc của đường thẳng AC là 1 3 2 1 1 x y z − − = = − − . c) Mặt phẳng ( ABC) đi qua điểm A và nhận vectơ ( ) 1 1;1;1 3 n n  = = làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ABC) là: 1 0 1 1 1 3 0 4 0 ( x y z x y z − + − + − =  + + − = ) ( ) ( ) d) Thay tọa độ của điểm D(1;1; 2− ) vào phương trình mặt phẳng ( ABC) ta được: 1 1 2 4 4 0 + + − − = −  ( ) Suy ra điểm D không thuộc mặt phẳng ( ABC) . Vậy bốn điểm A B C D , , , không đồng phẳng. e) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( ABC) là: ( ( )) ( ) 222 1 1 2 4 4 4 3 , 3 3 111 d D ABC + + − − = = = + + 6. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau: a) (P) đi qua điểm M (−3;1;4) và có một vectơ pháp tuyến là n = − (2; 4;1) ; b) (P) đi qua điểm N (2; 1;5 − ) và có cặp vectơ chỉ phương là u1 = − − (1; 3; 2) và u2 = −( 3;4;1) ; c) (P) đi qua điểm I (4;0; 7− ) và song song với mặt phẳng (Q x y z ): 2 3 0 + − − = ; d) (P) đi qua điểm K (−4;9;2) và vuông góc với đường thẳng 1 6 : 2 1 5 x y z − −  = = . Lời giải a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M 3;1;4 (− ) và có một vectơ pháp tuyến là n = − (2; 4;1) là: 2 3 4 1 1 4 0 2 4 6 0 ( x y z x y z + − − + − =  − + + = ) ( ) ( ) b) Xét vecto 1 2 3 2 2 1 1 3 , ; ; 4 1 1 3 3 4 n u u   − − − − = =         − −   , tức là n = − (5;5; 5) . Khi đó, n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) . Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là: 5 2 5 1 5 5 0 4 0 ( x y z x y z ) ( ) ( ) − + − − − − =  + − + =     c) Mặt phẳng (Q) : 2 3 0 x y z + − − = có vectơ pháp tuyến là nQ = − (2;1; 1). Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) nhận nQ = − (2;1; 1) làm một vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) P là: 2( 4) 1( 0) 1( 7) 0 2 15 0 x y z x y z − + − − + =  + − − = d) Ðường thẳng 1 6 : 2 1 5 x y z − −  = = có vectơ chỉ phương là u = (2;1;5)
Vi  ⊥ (P) nên mặt phẳng (P) nhận u = (2;1;5) làm vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là: 2( 4) 1( 9) 5( 2) 0 2 5 11 0 x y z x y z + + − + − =  + + − = 7. Viết phương trình của mặt cầu ( ) S trong mỗi trường hợp sau: a) (S) có tâm I (4; 2;1 − ) và bán kính R = 9 ; b) (S) có tâm I (3;2;0) và đi qua điểm M (2;4; 1− ) ; c) (S) có đường kính là đoạn thẳng AB với A(1;2;0) và B(−1;0;4) . Lời giải a) Phương trình mặt cầu ( ) S có tâm I(4; 2;1) − và bán kính R = 9 là: 2 2 2 ( 4) ( 2) ( 1) 81 x y z − + + + − = b) Ta có bán kính của mặt cầu (S) là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 2 1 0 6 − + − + − − = . Phương trình mặt cầu (S) là: 2 2 2 ( 3) ( 2) 6 x y z − + − + = c) Tâm của mặt cầu (S) là trung điểm I của đoạn thẳng AB Ta có 1 1 ( ) 2 0 0 4 0; 1; 2 2 2 2 I I I x y z + − + + = = = = = = . Suy ra I 0;1;2 ( ). Bán kính của mặt cầu ( ) S là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 R IA = = − + − + − = 1 0 2 1 0 2 6 . Phương trình mặt cầu (S) là: ( ) ( ) 2 2 2 x y z + − + − = 1 2 6 8. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng 1  và 2  trong mỗi trường hợp sau: a) 1 1 5 5 : 3 4 1 x y z + + −  = = − và 2 13 5 17 : 5 2 7 x y z + − +  = = − ; b) 1 2 1 4 : 2 3 7 x y z − + −  = = − và 2 10 19 45 : 6 9 21 x y z + + −  = = − − ; c) 1 3 5 2 : 1 1 3 x y z + − −  = = và 2 13 9 13 : 5 2 7 x y z + − +  = = − . Lời giải a) Đường thẳng 1  đi qua điểm M 1; 5;5 1 (− − ) và có u1 = − (3;4; 1) là vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2  đi qua điểm M 13;5; 17 2 (− − ) và có u2 = − (5; 2;7) là vectơ chỉ phương. Ta có 3 4 5 2  − , suy ra hai vectơ 1 2 u u, không cùng phương.