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Mohamed Zohry Dans e hapitre 1 nous introduisons les notions d'espa e mesurable, de mesure et d'espa e mesuré suivant l'ordre i-dessous. 1. Classes d'ensembles. 2. Espa es mesurables. 3. Fon tions d'ensembles et mesures positives. 4. La mesure de Lebesgue. Ce hapitre sera suivi par une série (Série 1) d'exer i es variés ouvrant toutes les notions qui y sont étudiées. Après un temps relativement raison- nable, suivra un orrigé (Solution de la Série 1) très détaillé de tous les exer i es proposés. Mohamed ZOHRY mzohryuae.a .ma i
Mohamed Zohry Chapitre 1 Espa es mesurables et Espa es mesurés 1 Classes d'ensembles Soient Ω un ensemble non vide et P(Ω) l'ensemble des parties de Ω. Une partie de P(Ω) est dite lasse d'ensembles ou de parties de Ω. Une lasse A de parties de Ω est appelée lan de Ω si les propriétés (i) et (ii) i-dessous sont vériées : (i) Si A ∈ A et B ∈ A , alors A ∪ B ∈ A . (ii) Si A ∈ A et B ∈ A , alors A \ B ∈ A . Si en plus Ω ∈ A , le lan est dit unitaire. Exemples. 1) A = P(Ω) et A = {∅, Ω} sont des lans unitaires de Ω. 2) Si Ω est un ensemble inni non dénombrable, l'ensemble des parties dé- nombrables de Ω est un lan (non unitaire) de Ω. Proposition 1.1. Si A est un lan, non vide, de parties d'un ensemble Ω, alors : (i) ∅ ∈ A . (ii) Si A ∈ A et B ∈ A , alors A ∩ B ∈ A . (iii) Si Ai ∈ A pour i = 1, 2, . . . n, alors Tn i=1 Ai ∈ A et Sn i=1 Ai ∈ A . Preuve. (i) A étant non vide, il existe A ∈ A et alors ∅ = A \ A ∈ A . (ii) Soient A ∈ A et B ∈ A . On a A ∩B = A ∪B \ [(A \ B)∪(B \ A)] ∈ A . (iii) Il sut de raisonner par ré urren e et utiliser l'asso iativité des opéra- tions interse tion et réunion dans P(Ω). 1
Mohamed Zohry Un lan est don une lasse de parties de Ω, stable pour les opérations ensemblistes suivantes : diéren e, union nie et interse tion nie. Proposition 1.2. Soit A une lasse de parties de Ω. Il existe un lan unique C (A ) ontenant A tel que si B est un lan ontenant A , alors C (A ) ⊆ B. Preuve. Soit F = { lan B de Ω : A ⊆ B}, la lasse F est non vide ar P(Ω) ∈ F . On vérie fa ilement (faites le !) que la lasse C (A ) = T B∈F B est un lan ontenant A ; de plus C (A ) est ontenu dans tout lan ontenant A . Le lan C (A ) est appelé lan engendré par A . On appelle σ- lan, tout lan Σ stable par réunion dénombrable, 'est-à- dire toute lasse Σ vériant : (i) Si A ∈ Σ et B ∈ Σ, alors A \ B ∈ Σ. (ii) Si An ∈ Σ pour n ∈ N ∗ , alors S∞ n=1 An ∈ Σ. Un σ- lan unitaire est appelé tribu. Proposition 1.3. Soit A une lasse de parties d'un ensemble Ω non vide. Il existe une tribu unique σ(A ) ontenant A tel le que si Σ est une tribu ontenant A , alors σ(A ) ⊆ Σ. Preuve. Analogue à elle de la proposition 1.2., est laissée à titre d'exer- i e. La tribu σ(A ) est dite tribu engendrée par A . Comme appli ation simple mais importante de e qui pré ède on a : Soit Ω un espa e topologique. On appelle tribu borélienne sur Ω et on note B(Ω), la tribu engendrée par la lasse des ouverts de Ω. Les parties de B(Ω) sont dites boréliennes. Proposition 1.4. Soit n > 1 un entier, la tribu borélienne B(R n ) de R n oïn ide ave la tribu engendrée par les produits Qn i=1 ]ai , bi [ d'interval les ouverts où ai et bi sont des réels vériant ai < bi pour i = 1, . . . , n. 2
Mohamed Zohry Preuve. Par dénition de la topologie de R n , la lasse O des ouverts de R n est formée de toutes les réunions de produits d'intervalles ouverts. En outre, tout ouvert de R n peut s'é rire omme réunion dénombrable de pro- duits d'intervalles (par exemple la réunion des produits d'intervalles ouverts à extrémités rationnelles qu'il ontient, et ette réunion est dénombrable). Mais la tribu Σ engendrée par les produits d'intervalles ouverts est onte- nue dans la tribu B(R n ). Et omme elle ontient la lasse O des ouverts de R n , la proposition 1.3. entraîne alors l'égalité B(R n ) = Σ. Remarque. La démonstration pré édente appelle une généralisation de la façon suivante. Proposition 1.5. Soit A une lasse d'ensembles, σ(A ) la tribu engendrée par A . Si B est une sous- lasse de A , (B ⊆ A ), et σ(B) la tribu engendrée par B vérie A ⊆ σ(B), alors σ(A ) = σ(B). 2 Espa es mesurables. Un espa e mesurable est un ouple (Ω, Σ) où Ω est un ensemble non vide et Σ une tribu de parties de Ω. Les éléments de Σ sont dits ensembles mesurables de Ω. Proposition 2.1. Soient (Ω, Σ) un espa e mesurable, Γ un ensemble et f une appli ation de Γ dans Ω. Alors f −1 (Σ) = {f −1 (A) : A ∈ Σ} est une tribu sur Γ dite tribu engendrée par f . Preuve. Elle est immédiate et repose sur le fait que les opérations d'union et de omplémentaire ommutent ave f −1 . La véri ation est laissée à titre d'exer i e. Proposition 2.2. Soient (Ω, Σ) un espa e mesurable et Ω0 un sous-ensemble de Ω. Alors : (i) La tra e sur Ω0, Σ0 = Σ ∩ Ω0 = {A ∩ Ω0 : A ∈ Σ}, de la tribu Σ est une tribu sur Ω0, appelée tribu induite par Σ sur Ω0. (ii) Lorsque Ω0 ∈ Σ, la tribu induite Σ0 oïn ide ave {A ∈ Σ : A ⊆ Ω0}. (iii) Pour toute lasse A de parties de Ω, on a Ω0 ∩ σ(A ) = σ(Ω0 ∩ A ). Preuve. (i) En appliquant la proposition 2.1. à Ω0 , (Ω, Σ) et à l'inje tion anonique i : Ω0 −→ Ω, on obtient Σ0 = i −1 (Σ) qui est bien une tribu. 3