Tiêu đề Đề Thi Olympic Toán Trại Hè Hùng Vương 2014 (Khối 11) [Đáp Án].pdf ✅

WWW.MOLYMPIAD.ML SӢ GD&ĐT QUҦNG NINH TRƯӠNG THPT CHUYÊN HẠ LONG ĐỀ THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯѪNG LẦN THỨ X MÔN: TOÁN - KHỐI: 11 Ngày thi: 01 tháng 08 năm 2014 Thӡi gian: 180 phút Đề thi gồm: 1 trang. Câu 1 (4 điểm) Cho dãy số ( ) n u xác định như sau 1 2 2 1 2014 (1 2 ) 1,2,... n n n u u u a u a n            Tìm điều kiện của a để dãy số ( ) n u có giới hҥn hữu hҥn và tính giới hҥn đó. Câu 2 (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiӃp đưӡng tròn tâm O. Đưӡng tròn tâm I tiӃp xúc với hai cҥnh AC, BC lần lượt tҥi E, F và tiӃp xúc trong với đưӡng tròn tâm O tҥi điểm P. Một đưӡng thẳng song song với AB và tiӃp xúc với đưӡng tròn tâm I tҥi điểm Q nằm trong tam giác ABC. a) Gọi K, L lần lượt là giao điểm thứ hai của PE và PF với (O). Chứng minh rằng KL song song với EF. b) Chứng minh rằng ACP QCB  . Câu 3 (4 điểm) Cho P x  và Q x( ) là các đa thức với hệ số thực, có bậc bằng 2014 và có hệ số cao nhất bằng 1. Chứng minh rằng nӃu phương trình P x Q x      không có nghiệm thực thì phương trình sau có nghiệm thực P x Q x        2013 2013 . Câu 4 (4 điểm) Trong mặt phẳng cho * 2 1 ( ) n n   đưӡng thẳng phân biệt sao cho không có hai đưӡng nào song song hoặc vuông góc và không có ba đưӡng nào đồng quy. Chúng cắt nhau tҥo thành các tam giác. Chứng minh rằng số các tam giác nhọn tҥo thành không vượt quá    1 2 1 6 n n n   . Câu 5 (4 điểm) Tìm tất cҧ các bộ ba số ( ; ; ) x y z nguyên dương thỏa mãn 2 1 4 4 x y    z . ----------------------------------HӂT---------------------------------- ĐỀ CHÍNH THỨC
WWW.MOLYMPIAD.ML 1 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN KHỐI 11 Bài Lӡi giҧi Điểm Bài 1 Sѫn La Ta có: 2 1 1 ( ) 0 ; 1,2,3,... n n n n n u u u a u u n           * Suy ra dãy số ( ) n u tăng ; từ đó dãy số ( ) n u có giới hҥn hữu hҥn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên. Giҧ sử tồn tҥi lim ( ) n u L L   , thì chuyển qua giới hҥn hệ thức 2 2 1 (1 2 ) n n n u u a u a      ta có: 2 2 L L a L a L a       (1 2 ) ---------------------------------------------------------------------------------------------------- - NӃu có chỉ số * k  mà k u a  thì ; n u a n k    nên L a  trái với kӃt quҧ lim n u L a   . Do đó: k u a  với mọi k 1,2,... hay 2 2 (1 2 ) , 1,2,3,... n n u a u a a n       nói riêng 2 2 1 1 u a u a a     (1 2 ) 1         a u a a a 1 1 2014 từ đó ta được 2014 2015  a . ---------------------------------------------------------------------------------------------------- * Đҧo lҥi: NӃu 1 2014 2015 1       a a u a 2 2 1 1 1 1 2              ( 1)( ) 0 (1 2 ) 0 u a u a u a u a a u a và 1 2 2 u u a u a      1 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Bằng quy nҥp ta chứng minh được 1 , 1,2,3,... n a u a n      (H/s trình bày ra) Như vậy dãy ( ) n u tăng, bị chặn trên bới a , do đó dãy ( ) n u có giới hҥn hữu hҥn. Kết luận: Với điều kiện 2014 2015  a thì dãy số ( ) n u có giới hҥn hữu hҥn và lim n u a  1.0 ------- 1.0 -------- 1.0 -------- 1.0 Bài 2 Hòa Bình a. Xét phép vị tự V( ; ) P k tâm P biӃn đưӡng tròn (I) thành đưӡng tròn (O) nên biӃn điểm E thành điểm K và biӃn điểm F thành điểm L nên KL//EF. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- b. Gọi D là giao điểm thức hai của đưӡng thẳng PC với đưӡng tròn tâm I, và M là giao điểm thứ hai của đưӡng tròn tâm O với PQ. Xét phép vị tự V( ; ) P k biӃn đưӡng tròn tâm I thành đưӡng tròn tâm O, ta có phép vị tự V( ; ) P k biӃn E, D, Q, F lần lượt thành K, C, M, L. Do OK là ҧnh của IE qua V( ; ) P k , dẫn đӃn OK IE / / mà IE AC  nên OK AC  , suy ra K là điểm chính giữa của cung AC. Chứng minh tương tự ta có L là điểm chính giữa của cung BC, M là điểm chính giữa của cung AB. 1.0 -------- 1.0
WWW.MOLYMPIAD.ML 2 L K M Q D P F E O C A B I ---------------------------------------------------------------------------------------------------- NӃu AC BC  thì ta có BM MA BL LM MK KA          LC LM MK CK     2 2 LM MC MC CK   LM CK Trưӡng hợp AC BC  ta cũng chỉ ra được LM CK    DE FQ (tính chất phép vị tự).   DEC QFC (góc tҥo bӣi tiӃp tuyӃn và dây cung chắn hai cung bằng nhau) và DE = QF. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Lҥi có CE = CF theo tính chất của hai tiӃp tuyӃn kẻ từ một điểm. Suy ra    CED CFQ, dẫn đӃn ECD FCQ  . Từ đó ta có điều phҧi chứng minh. -------- 1.0 -------- 1.0 Bài 3 Vĩnh Phúc Giҧ sử   2 2013 2014 0 1 2 2013 P x a a x a x a x x       ...   2 2013 2014 0 1 2 2013 Q x b b x b x b x x       ... Khi đó           2 2013 0 0 1 1 2 2 2013 2013 P x Q x a b a b x a b x a b x           ... . NӃu 2013 2013 a b   0 thì đa thức P x Q x      là một đa thức bậc lẻ nên nó luôn có ít nhất một nghiệm thực (mâu thuẫn). Do đó 2013 2013 a b t   . ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Ta có           2 2013 2014 0 1 2 P x a a x a x t x x            2013 2013 2013 ... 2013 2013           2 2013 2014 0 1 2 Q x b b x b x t x x            2013 2013 2013 ... 2013 2013 Khi đó ta có: 1.0 -------- 2.0
WWW.MOLYMPIAD.ML 3       1 2013 2014 P x Q x R x C x      2013 2013 2. 2013. , trong đó R x  là một đa thức có bậc nhỏ hơn 2013. --------------------------------------------------------------------------------------------------- Do đó       1 2013 2014 P x Q x R x C x      2013 2013 2. 2013. là một đa thức với hệ số thực bậc lẻ nên đa thức này luôn có ít nhất một nghiệm thực. -------- 1.0 Bài 4 Yên Bái Gọi số tam giác tҥo thành là f n . Ta phҧi chứng minh        1 2 1 * 1 , 6 n n n f n n      Với ba đưӡng thẳng bất kỳ trong số các đưӡng thẳng đã cho luôn cắt nhau tҥo thành một tam giác hoặc nhọn hoặc tù. Gọi g n  là số các tam giác tù. Ta gọi một tam giác tҥo bӣi ba đưӡng thẳng abc , , nào đó là: "giҧ nhọn cҥnh a " nӃu các góc chung cҥnh a của tam giác đó là các góc nhọn. Chọn một đưӡng thẳng d nào đó và coi nó là trục hoành, các đưӡng thẳng còn lҥi được chia làm hai tập: Tập T  là các đưӡng thẳng với hệ số góc dương, Tập T  là tập các đưӡng thẳng với hệ số góc âm. Hai đưӡng thẳng tҥo với d một tam giác "giҧ nhọn" nӃu một đưӡng thẳng thuộc tập T  và một đưӡng thẳng thuộc tập T  . Gọi p là số đưӡng thẳng thuộc T  và q là số các đưӡng thẳng thuộc tập T  . Khi đó p q n   2 và số tam giác "giҧ nhọn cҥnh d " là pq . Ta có 2 2 p q pq n          -------------------------------------------------------------------------------------- Nhưng do d có thể là đưӡng thẳng bất kỳ trong số 2 1 n  đưӡng thẳng đã cho nên ta có số cặp (đưӡng thẳng d ; tam giác "giҧ nhọn cҥnh d") sӁ nhỏ hơn hoặc bằng   2 n n2 1 . -------------------------------------------------------------------------------------- Trong cách tính trên mỗi tam giác nhọn được tính 3 lần (theo 3 cҥnh) còn mỗi tam giác tù được tính 1 lần nên       2 3 2 1 (1) f n g n n n    -------------------------------------------------------------------------------------- ThӃ nhưng tổng số các tam giác là:     3     2 1 2 1 2 2 1 (2) 6 n n n n C f n g n       Từ (1) và (2) suy ra           2 2 (2 1)2 2 1   2 2 1 (2 1) 6 n n n f n n n f n g n n n          ( 1)(2 1) 3 n n n    1.0 -------- 1.0 -------- 1.0 -------- 1.0