Tiêu đề CHUYÊN ĐỀ 04. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN (39 câu Trắc Nghiệm 4LC).pdf ✅

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT KIẾN THỨC CẦN NHỚ: I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau: Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB uuur . Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là a b x y , , , ,1⁄4 r r r r Độ dài của vectơ AB uuur được kí hiệu là AB uuur , độ dài của vectơ â được kí hiệu là |â|. Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ a r và b r được gọi là bằng nhau, kí hiệu a b = r r , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian: Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ ả cho trước, có duy nhất điểm M sao cho OM a = uuuur r . Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như AA BB , ,1⁄4 uuur uuur gọi là các vectơ -không. Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0,cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0 r . II. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN a) Tổng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ a r và b r . Lấy một điểm A bất kì và các điểm B C, sao cho AB a BC b = = , uuur uuur r r . Khi đó, vectơ AC uuur được gọi là tổng của hai vectơ a r và b r , kí hiệu là a b + r r . Tức là: AB BC AC + = , , "A B C uuur uuur uuur . Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chát sau: Tính chất giao hoán: Nếu a r và b r là hai vectơ bất kì thì a b b a + = + r r r r . Tính chất kết hợp: Nếu a b, r r và c r là ba vectơ bât kì thì a b c a b c + + = + +    r r r r r r . CHUYÊN ĐỀ 4: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Tính chất cộng với vectơ 0 r : Nếu a r là một vectơ bất kì thì a a a + = + = 0 0 r r r r r . Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ a b, r r và c r là a b c + + r r r mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian. Cho hình bình hành . Khi ABCD AB AD AC đó, ta có . + = uuur uuur uuur Cho hình hộp . . Khi ABCD A B C D AB AD AA AC ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ đó, ta có . + + = uuur uuur uuur uuuur b) Hiệu của hai vectơ trong không gian Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ ả được gọi là vectơ đối của vectơ a r , kí hiệu là -a r . Chú ý: Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng 0 r . Vectơ BA uuur là một vectơ đối của vectơ AB uuur . Vectơ 0 được coi là vectơ đối của chính nó. Tương tự như hiệu của hai vectơ trong mặt phẳng, ta có định nghĩa về hiệu của hai vectơ trong không gian: Vectơ a b + -  r r được gọi là hiệu của hai vectơ a r và b r và kí hiệu là a b - r r . Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ. Quy tắc trừ: AB AC CB - = , , "A B C uuur uuur uuur . III. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian, tích của một số thực k 1 0 với một vectơ a 1 0 r r là một vectơ, kí hiệu là kar , được xác định như sau: Cùng hướng với vectơ a nếu k > 0 ; ngược hướng với vectơ a r nếu k < 0 ; Có độ dài bằng k a× r . Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ. Chú ý: Quy ước ka = 0 r r nếu k = 0 hoặc a = 0 r r . Nếu ka = 0 r r thì k = 0 hoặc a = 0 r r . Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ a r và b b 1 0 r r r cùng phương là có một số thực k sao cho a kb = r r . Chú ý: Tương tự như phép nhân một số với một vectơ trong mặt phẳng, phép nhân một số với một vectơ trong không gian có các tính chất sau: Tính chất kết hợp: Nếu h k, là hai số thực và a r là một vectơ bất kì thì h ka hk a   =   ur r . Tính chất phân phối: Nếu h k, là hai số thực và a b, r r là hai vectơ bất kì thì h k a ha ka + = +  r r r và k a b ka kb  + = +  r r r r . Tính chất nhân với 1 và -1: Nếu a r là một vectơ bất kì thì 1a a = r r và - = - 1 a a r r . Chú ý: Tương tự như trong mặt phẳng, nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với điểm O tuỳ ý, ta có OA OB OC OG + + = 3 uuur uuur uuur uuur IV. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
a) Góc giữa hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ a b, r r khác 0 r . Lấy một điểm O bất kì và gọi A B, là hai điểm sao cho OA a OB b = = , uuur uuur r r . Khi đó, góc AOB AOB 0 180 £ £   o o được gọi là góc giữa hai vectơ a r và b r , kí hiệu là a b,  r r . Chú ý: Để xác định góc giữa hai vectơ AB uuur và CD uuur trong không gian ta có thể lấy điểm E sao cho AE CD = uuur uuur , khi đó  AB CD BAE , H.2.23  =   uuur uuur . Quy ước góc giữa một vectơ bất kì và 0 có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ 0 o đến 180o . b) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ a b, r r đều khác 0 r . Tích vô hướng của hai vectơ a r và b r là một số, kí hiệu là a b× r r , được xác định bởi công thức: a b a b a b × = × ×cos , .   r r r r r r Chú ý: Quy ước nếu a = 0 r r hoặc b = 0 r r thì a b× = 0 r r . Cho hai vectơ a b, r r đều khác 0 r . Khi đó: a b a b ^ Û × = 0 r r r r . Với mọi vectơ a r , ta có 2 2 a a =| | r r . Nếu a b, r r là hai vectơ khác 0 r thì cos ,   a b a b a b × = × r r r r r r .