Tiêu đề Toán 12_Tập 2 C6_Bài 2. Công thức XS toàn phần - Bayes CTST_bản GV.pdf ✅

1 Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes A. Kiến thức cần nhớ 1. Công thức xác suất toàn phần Cho hai biến cố A , B với 0 P( ) 1   B , ta có: P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ). A A B A B B A B B A B         ∣ ∣ 2. Công thức Bayes Với hai biến cố A , B mà P( ) 0,P( ) 0 A B   , ta có: P( ) P( ) P( ) P( ) B A B B A A   ∣ ∣ . Nhận xét: Cho hai biến cố A , B với P( ) 0,0 P( ) 1 A B    . Do P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) A B A B B A B     ∣ ∣ nên công thức Bayes còn có dạng: P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) B A B B A B A B B A B       ∣ ∣ ∣ ∣ B. Các dạng bài tập & phương pháp giải Dạng 1. Tính xác suất bằng cách sử dụng công thức xác suất toàn phần Ví dụ 1. Cho hai biến cố A , B với P( ) 0,6;P( ) 0,7 B A B   ∣ và P( ) 0,4 A B∣  . Tính P( ) A . Lời giải tham khảo Ta có P B( ) 0,6  . Suy ra P B P B ( ) 1 ( ) 1 0,6 0,4      . Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: P(A) P(B) P(A B) P( ) P(A ) 0,6 0,7 0,4 0,4 0,58.          ∣ ∣ B B Ví dụ 2. Chị An trà lời hai câu hòi. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7 . Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,9 nếu chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất và là 0,5 nếu chị An không trả lời đúng câu hỏi thứ nhất. Gọi A là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất" và B là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hòi thứ hai". Hãy tìm các giá trị thích hợp điền vào các ô có dấu ? ở sơ đồ hình cây sau: Lời giải tham khảo A là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất" và B là biến cố "Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai". Ta có P(A) 0,7;P(B A) 0,9; ( ) 0,5    ∣ ∣ P B A . Suy ra P A P A P B A P B A ( ) 1 ( ) 0,3; ( ) 1 ( ) 0,1       ∣ ∣ ; P B A P B A ( ) 1 ( ) 0,5 ∣ ∣    Ta có sơ đồ hình cây
2 Ví dụ 3. Vào mỗi buối sáng ở tuyến phố H , xác suất xảy ra tắc đường khi trời mưa và không mưa lần lượt là 0,7 và 0,2 . Xác suất có mưa vào một buối sáng là 0,1 . Tính xác suất đế sáng đó tuyến phố H bị tắc đường. Lời giải tham khảo Gọi A là biến cố "Tuyến phố H bị tắc đường" và B là biến cố "Buối sáng đó có mưa" Theo đề ta có: P(B) 0,1;P(A B) 0,7; ( ) 0,2    ∣ ∣ P A B Suy ra P B P B ( ) 1 ( ) 0,9    . Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có: P A P B P A B P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,1 0,7 0,9 0,2 0,25          ∣ ∣ Dạng 2. Tính xác suất bằng cách sử dụng công thức Bayes Ví dụ 4. Khảo sát thị lực của 100 học sinh, ta thu được bảng số liệu sau: Chọn ng u nhi n ạn trong 100 học sinh trên. a) Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ, tính xác suắt bạn đó là học sinh nam. b) Biết rằng bạn đó là học sinh nam, tính xác suắt bạn đó có tật khúc xạ. Lời giải tham khảo Gọi A là biến cố "Học sinh đó có tật khúc xạ" và B là biến cố "Học sinh đó là học sinh nam". a) Ta có 18 3 ( ) 12 18 5 P B A    ∣ . b) Ta có 18 9 ( ) 18 32 25 P A B    ∣ .

4 Ví dụ 7. Khi phát hiện một vật thể bay, xác suất một hệ thống radar phát cảnh báo là 0,9 nếu vật thể ay đó là mục tiêu thật và là 0,05 nếu đó là mục tiêu giả. Có 99% các vật thể bay là mục tiêu giả. Biết rằng hệ thống radar đang phát cảnh báo khi phát hiện một vật thể bay. Tính xác suất vật thể đó là mục tiêu thật. Lời giải tham khảo Gọi A là biến cố "Hệ thống radar phát cảnh báo" và B là biến cố "Vật thế ay đó là mục tiêu thật". Theo đề ta có P(A B) 0,9; ( ) 0,05; ( ) 0,99 ∣ ∣    P A B P B . Suy ra P B P B ( ) 1 ( ) 0,01    . Ta có P A P B P A B P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,01.0,9 0,99 0,05 0,0585         ∣ ∣ . Ta cằn tính ( ) ( ) 0,01.0,9 2 ( ) ( ) 0,0585 13 P B P A B P B A P A     ∣ ∣ . Ví dụ 8. Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có 2% tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Trong các vụ tai nạn ở địa phương đó, người ta nhận thấy có 10% là do tài xế có sử dụng điện thoại khi lái xe gây ra. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần? Lời giải tham khảo Gọi A là biến cố "Tài xế gây tai nạn" và B là biến cố "Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe". Theo đề ta có P(B) 0,02;P(B A) 0,1   ∣ . Suy ra P B P B P B A P B A ( ) 1 ( ) 0,98; ( ) 1 ( ) 0,9       ∣ ∣ . Cần tính ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B A P A B P B   ∣ ∣ . Có P A P B P A B P B P A B x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,02 0,98         ∣ ∣ (đặt P A B x P A B y ( ) ; ( ) ∣ ∣   ). Có ( ) ( ) 0,02 ( ) 0,1 0,02 0,98 0,2. ( ) 0,02 0,98 P B P A B x P B A x y x P A x y          ∣ ∣ 9 49   y x . Ta có ( ) 49 5,44 ( ) 9 9 49 P A B x x P A B y x     ∣ ∣ . Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên 5,44 lần.