Tiêu đề Complex Number Varsity Practice Sheet Solution.pdf ✅

RwUj msL ̈v  Varsity Practice Sheet Solution 1 03 RwUj msL ̈v Complex Number weMZ mv‡j DU-G Avmv cÖkœvejx 1. 1 Gi GKwU RwUj Nbg~j  n‡j,  16 +  32 = ? [DU 23-24] 1 2 – 1 – 2 DËi: – 1 e ̈vL ̈v:  16 +  32 =  +  2 = – 1 [⸪ 1 +  +  2 = 0] 2. 1 + i 1 – i Gi ciggvb n‡jvÑ [DU 19-20] 0 1 2 i DËi: 1 e ̈vL ̈v:    1 + i 1 – i = |1 + i| |1 – i| = 2 2 = 1 3. z = (– 4 + 3i) i Gi KvíwbK AskÑ [DU 18-19] 3 4 – 4 – 3 DËi: 4 e ̈vL ̈v: z = – 4 + 3i i = – 4i + 3i2 i 2 = – 4i – 3 – 1 = 3 + 4i  KvíwbK Ask 4 4. x = 1 2 (– 1 + – 3) Ges y = 1 2 (– 1 – – 3) n‡j, x 2 + xy + y2 Gi gvbÑ [DU 18-19] 0 2 1 + 3 1 DËi: 0 e ̈vL ̈v: x I y n‡jv  I  2  2 + . 2 + ( 2 ) 2 =  2 +  3 +  4 =  2 + 1 +  = 0 5. hw` z1 = 1 – i, z2 = 3 + i nq, Z‡e z2 z1 Gi bwZÑ [DU 17-18] 5 12  6 –  4 – 5 12 DËi: 5 12 e ̈vL ̈v: arg z1 = – tan–1 1 = –  4 arg z2 = tan–1 1 3 =  6  arg     z2 z1 =  6 –    –   4 =  6 +  4 = 5 12 Note: arg     z2 z1 = arg (z2) – arg (z1) 6. hw` 1 a + i = i a – i nq, Z‡e a Gi gvb KZ? [DU 16-17] 1 i 2 – 1 – i 2 DËi: – 1 e ̈vL ̈v: a – i = i(a + i)  a – i = ai + i2  a – i = ai – 1  a = – 1 7. z = x + iy n‡j, |z – 5| + |z + 5| = 16 wb‡`©k K‡iÑ [DU 16-17] Circle Parabola Hyperbola Ellipse DËi: Ellipse e ̈vL ̈v: |z – a| + |z – b| = k ; |a – b| < k n‡j Dce„Ë a = 5 ; b = – 5 ; k = 16 |a – b| = 10 < 16; hv Dce„Ë wb‡`©k K‡i| 8. GK‡Ki GKwU KvíwbK Nbg~j  n‡j, (1 – )(1 –  2 )(1 –  4 )(1 –  8 ) Gi gvbÑ [DU 15-16; RU 06-07] 18 6 – 9 9 DËi: 9 e ̈vL ̈v: (1 – )(1 –  2 )(1 –  4 )(1 –  8 ) = (1 – )(1 –  2 )(1 – )(1 –  2 ) = (1 – ) 2 (1 –  2 ) 2 = (1 – 2 )(1 – 2 2 +  4 ) = (– 3)(– 3 2 ) = 9
2  Higher Math 2 nd Paper Chapter-3 weMZ mv‡j GST-G Avmv cÖkœvejx 1. 1 +  19999 +  15558 = ? [GST 23-24] 0 – 1 1 + 2 2 +  DËi: 2 +  e ̈vL ̈v: 1 +  19999 +  15558 = 1 +  +  0 = 2 +  2. i = – 1 n‡j, 1 + i + i2 + i3 + ...... + i39 Gi gvb KZ? [GST 23-24; MBSTU 19-20] 1 – b 0 i DËi: 0 e ̈vL ̈v: 1 + i + i2 + i3 + ...... + i39 = i0 + i + i2 + ...... + i39  c`msL ̈v = 39 – 0 1 + 1 = 40 c`msL ̈v 4 Gi ̧wYZK n‡j, avivi gvb 0 n‡e|  1 + i + i2 + i3 + ...... + i39 = 0 3. (3 3 – 3i)(– 3 3 + 9i) Gi gWzjvm = ? [GST 22-23] 54 3 27 3 36 3 45 3 DËi: 36 3 e ̈vL ̈v: (3 3 – 3i)(– 3 3 + 9i) = – 27 + 27 3i + 9 3i + 27 = 36 3i  gWzjvm = 36 3 4. Amgvb x I y Gi †h‡Kv‡bv GKwUi eM© AciwUi mgvb n‡j, m¤úK©wUÑ [GST 21-22] x = y – 1 x = y + 2 x = – y + 2 x = – y – 1 DËi: x = – y – 1 e ̈vL ̈v: GLv‡b, x I y n‡jv  I  2 Avgiv Rvwb, 1 +  +  2 = 0   = –  2 – 1  x = – y – 1 5. hw`  = – 1 + – 3 2 Ges  = – 1 – – 3 2 nq, Z‡e G‡`i m¤úK© Kx? [GST 21-22]  = –  2  =  2  3 = 1 –  3  3 = 1 +  3 DËi:  =  2 e ̈vL ̈v:  I  n‡jv h_vμ‡g I  2   2 =  4 =  3 . = 1. =  =  6. p + 4i = q + i n‡j, p – q Gi gvb KZ? [GST 20-21] 0 1 5 3 DËi: 1 e ̈vL ̈v: p + 4i = q + i  p + 4i = (q + i)2  p + 4i = q2 + 2iq + i2  p + 4i = q2 – 1 + 2iq  2q = 4  q = 2  p = q2 – 1  p = 3  p – q = 3 – 2 = 1 weMZ mv‡j Agri-G Avmv cÖkœvejx 1. hw` i 2 = – 1 nq, i + i2 + i3 + ..... + i23 Gi gvb KZ? [Agri. Guccho 20-21] – 1 i – i 1 DËi: – 1 e ̈vL ̈v: i Gi PviwU μwgK cvIqvi m¤^wjZ c‡`i †hvMdj = 0 GLv‡b, 23wU c` Av‡Q|  1g 3wU c` e ̈ZxZ evwK c` ̧‡jvi †hvMdj = 0  i + i2 + i3 = i – 1 – i = – 1 2. i 2 = – 1 n‡j, i –1 – i 2i–1 + i Gi gvbÑ [Agri. Guccho 20-21; PUST 12-13, 11-12] – 2i 2i – 2 2 DËi: 2 e ̈vL ̈v: i –1 – i 2i–1 + i = 1 i – i 2 i + i = 1 – i 2 i 2 + i2 i = 1 + 1 2 – 1 = 2 3. hw` 2 + 3i 2 – i = A + iB Ges A I B ev ̄Íe msL ̈v nq, Zvn‡j B Gi gvb KZ? [Agri. Guccho 19-20; JU 22-23] 3 5 4 5 7 5 8 5 DËi: 8 5 e ̈vL ̈v: 2 + 3i 2 – i = (2 + 3i)(2 + i) (2 – i)(2 + i) = 4 + 2i + 6i + 3i2 2 2 – i 2 = 4 – 3 + 8i 4 + 1 = 1 5 + 8i 5 = A + iB  A = 1 5 Ges B = 8 5
RwUj msL ̈v  Varsity Practice Sheet Solution 3 weMZ mv‡j JU-G Avmv cÖkœvejx 1. hw` 2 + 3i 2 – i = A + iB Ges A I B ev ̄Íe msL ̈v nq, Zvn‡j B Gi gvb KZ? [JU 22-23; Agri. Guccho 19-20] 3 5 4 5 7 5 8 5 DËi: 8 5 e ̈vL ̈v: 2 + 3i 2 – i = (2 + 3i)(2 + i) (2 – i)(2 + i) = 4 + 2i + 6i + 3i2 2 2 – i 2 = 4 – 3 + 8i 4 + 1 = 1 5 + 8i 5 = A + iB  A = 1 5 Ges B = 8 5 2. 2 – 2i Gi gyL ̈ Av ̧©‡g›U †KvbwU? [JU 22-23] – 3 4 –  4  4 3 4 DËi: –  4 e ̈vL ̈v: Av ̧©‡g›U = – tan–1     2 2 = –  4 Note: gyL ̈ Av ̧©‡g›U Gi mxgv –      3.  hw` GK‡Ki GKwU RwUj Nbg~j nq, Z‡e (1 –  +  2 )(1 –  2 +  4 ) Gi gvb †KvbwU? [JU 22-23] 4 6 3 2 DËi: 4 e ̈vL ̈v: (1 –  +  2 )(1 –  2 +  4 ) = (– 2)(– 2 2 ) = 4 3 = 4 4. 2 + 8 5i = ? [JU 19-20]  ( 10 + 8i)  ( 8 + 10i)  ( 10 + 2i)  ( 10 + 4i) DËi:  ( 10 + 8i) e ̈vL ̈v: r = 2 2 + (8 5) 2 = 18  2 + 8 5i =  1 2 ( 18 + 2 + i 18 – 2) =  1 2 (2 5 + 4i) =  ( 10 + 2 2i) =  ( 10 + 8i) 5. z = 8 + 3i n‡j, z +  z Gi gvb KZ? [JU 19-20] 8 12 16 20 DËi: 16 e ̈vL ̈v: z = 8 + 3i  z = 8 – 3i  z +  z = 8 + 3i + 8 – 3i = 16 6.  hw` GK‡Ki GKwU RwUj Nbg~j nq, Z‡e (1 – ) 2 (1 –  2 ) 2 = ? [JU 19-20] 1 3  3 9 DËi: 9 e ̈vL ̈v: (1 – ) 2 (1 –  2 ) 2 = (1 – 2 )(1 – 2 2 +  4 ) = (– 3)(– 3 2 ) = 9 3 = 9 7. a + ib = 4 – i n‡j, a 2 – b 2 Gi gvb KZ? [JU 19-20] 11 12 13 15 DËi: 15 e ̈vL ̈v: a = 4, b = – 1  a 2 – b 2 = 42 – (– 1)2 = 16 – 1 = 15 8. i 4n + 3 Gi gvb †KvbwU? [JU 18-19] – 1 – i – 2 2 DËi: – i e ̈vL ̈v: i 4n+3 = i 4n . i3 = 1  (– i) = – i Note: i = – 1 , i2 = – 1, i3 = – i i 4 = 1, i8 = 1, i12 = 1, i4n = 1 9. – 1 + i Gi Av ̧©‡g›U †KvbwU? [JU 18-19, 14-15]  4 3 4 5 4 7 4 DËi: 3 4
4  Higher Math 2 nd Paper Chapter-3 e ̈vL ̈v: Av ̧©‡g›U =  – tan–1 1 =  –  4 = 3 4 10. – 16  – 1 = †KvbwU? [JU 16-17] 4 – 4  4 4i DËi: – 4 e ̈vL ̈v: – 16  – 1 = 16i2 . i 2 = 4i.i = 4i2 = – 4 11. 3a + i(b – 5) = 9 – 5bi n‡j, a I b Gi gvb h_vμ‡g KZ? [JU 14-15] (3, 5)     5 6  3     3 5 6 (2.5, 6) DËi:     3 5 6 e ̈vL ̈v: 3a = 9  a = 3 b – 5 = – 5b  b = 5 6 12. – 2i Gi eM©g~j KZ? [JU 14-15; KU 19-20; JnU 17-18; RU 07-08]  (2 – i)  (1 – i)  (1 + i)  (1 – 2i) DËi:  (1 – i) e ̈vL ̈v: – 2i = 1 – 2i – 1 = 1 – 2i + i2 = (1 – i)2  – 2i =  (1 – i) Shortcut: 2i =  (1 + i) – 2i =  (1 – i) weMZ mv‡j RU-G Avmv cÖkœvejx 1. a > 0, b > 0 n‡j, – a – b = †KvbwU? [RU 23-24] ab – ab – ab †Kv‡bvwUB bq DËi: – ab e ̈vL ̈v: – a – b = ai. bi = abi 2 = – ab Note: – a  – b = – ab 2. i = 2y – 1 n‡j, y 8 = †KvbwU? [RU 23-24] i – i – 1 1 DËi: 1 e ̈vL ̈v: y = 1 + i 2  y 2 = i  y 8 = i4 = 1 Shortcut: i =  1 + i 2 – i =  1 – i 2 3. i – 2a + 1 = 0 n‡j, a 10 = †KvbwU? [RU 23-24] i – i – 1 1 DËi: i e ̈vL ̈v: a = 1 + i 2  a 2 = i a 10 = i5 = i 4. z = 1 + i 1 – i n‡j, Re(z) = †KvbwU? [RU 23-24] 0 – i – 1 1 DËi: 0 e ̈vL ̈v: 1 + i 1 – i = i = 0 + i  Re(z) = 0 5. x = 1 – i 1 + i n‡j, im(x) = †KvbwU? [RU 23-24] 0 – i – 1 1 DËi: – 1 e ̈vL ̈v: 1 – i 1 + i = – i = 0 – i  im(x) = – 1 6. i 2 = – 1 n‡j, i + i–1 i – i –1 Gi gvb KZ? [RU 23-24; MBSTU 13-14] 0 – 2i 2i 2 DËi: 0 e ̈vL ̈v: i + 1 i i – 1 i = i 2 + 1 i i 2 – 1 i = – 1 + 1 – 1 – 1 = 0 – 2 = 0