Tiêu đề Chuyên đề 9. ỨNG DỤNG CỦA HÀM BẬC NHẤT ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.doc ✅

Chuyên đề 9. ỨNG DỤNG CỦA HÀM BẬC NHẤT ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. Kiến thức cần nhớ Cho hàm số bậc nhất fxaxb , với 12xx . Ta có:   1 12 2 0 1)0,: 0 fx fxxxxx fx      Đẳng thức xảy ra khi  1 10 xx fx      hoặc  2 20 xx fx        1 12 2 0 2)0,: 0 fx fxxxxx fx      Đẳng thức xảy ra khi  1 10 xx fx      hoặc  2 20 xx fx      . Ý nghĩa hình học: Một đoạn thẳng nằm phía trên trục hoành khi và chỉ khi hai điểm đầu mút của nó nằm phía trên trục hoành. Một đoạn thẳng nằm phía dưới trục hoành khi và chỉ khi hai điểm đầu mút của nó nằm phía dưới trục hoành. Nhận xét: Nếu hệ số 0a thì fxb (hàm hằng). Khi đó các tính chất trên cũng đúng do đồ thị của hàm hằng cũng là một đường thẳng. Các tính chất khác của hàm hằng chúng tôi sẽ trình bày ở chương III của cuốn sách này. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho 0,,2xyz .Chứng minh rằng 24xyzxyyzzx . Giải Bất đẳng thức đã cho tương đương: 242240xyzxyyzzxxyzyzyz Coi x là biến số và y, z là tham số, đặt 224fxxyzyzyz Xét hàm fx với 02x .Ta có: 024220fyzyzyz 20fyz Như vậy, ta có 0fx với mọi x thõa mãn 02x . . Đẳng thức xảy ra khi  0 0220 x fyz      hoặc  2 0 x fxyz      0 2 x y     hoặc 0 2 x z     hoặc 2 0 x y     hoặc 2 0 x z     Nhận xét: Để giải bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính chất hàm bậc nhất chúng ta chia thành các bước sau: Bước 1: Tạo ra một hàm số dạng ftatb Bước 2: Xác định 12,tt sao cho: 12ttt . Bước 3: 1) Chứng minh 10ft và 20ft . Từ đó suy ra 0ft , với mọi t thỏa mãn 12ttt . 2) Chứng minh 10ft và 20ft . Từ đó suy ra 0ft , với mọi t thỏa mãn 12ttt . Ví dụ 2: Cho 3 số thực không âm x, y , z thỏa mãn: 1xyz

Với 221 ,0 44 abc tabtab  Đặt 52161614*.fttcccVT Ta lại có: 220161644210.fccc  232211314513145 4 c fcccccc     2 716 130 13168cc      1 3c    Từ đó suy ra 521640abcabbcca Đẳng thức xảy ra khi 2 0 04210 ab fc      (Vô lý vì ab dương) Nhận xét: Bài toán trên là hệ số của bài toán gốc sau đây: Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn 1xyz và hằng số m thỏa mãn 9 9 4m  Chứng minh rằng: 1 0 4xyyzzxmxyz Ví dụ 5: Cho 0,,1abc . Chứng minh rằng: 1111abcabc Giải Coi a là biến và b, c là các tham số Xét hàm số 1111faabcabc với 01a 01110fbcbcbc 10fbc Suy ra 0fa , với mọi 01a Đẳng thức sảy ra khi ,0,0ab hoặc ,0,0bc hoặc ,0,0ca . Nhận xét: Từ bài toán trên ta có bài toán tương tự: Cho 0,,,1abcd Chứng minh rằng 11111abcdabcd Ví dụ 6: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn 1xyz . Chứng minh rằng: 3334151xyzxyz Giải Xét biểu thức 3334151Pxyzxyz 334124151xyxyxyzxyz 33411214151zxyzzxyz 227123441xyzzz Đặt txy , coi z là biến ta được hàm số: 227123441Pfttzzz Lại có 221 0 44 xyz txy  Lại có: