Tiêu đề Chương 8_Bài 3_ _Đề bài_Toán 11_CTST.pdf ✅

BÀI 3. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng a  và b  là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với a  và b , kí hiệu a b , . Ta có: a b , ,   = m n với m n ^ ^ a b ,   (Hình 3). Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng. Cho c = Ç ( ) ( ) a b : ( ),( ) , a b  = a b với a b a c b c Ì Ì ^ ^ a b , , ,   (Hình 4). Ví dụ 1. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bên SAvuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng a)SAC và SAD; b) SAB và SAD; Lời giải a) Ta có: BO SA ^ và BO AC ^ , suy ra BO SAC ^  ; BA SA BA AD BA SAD ^ ^ ^ và , suy ra .   Do đó, nếu gọi góc giữa hai mặt phẳng SAC và SAD là a thì a = = = BO BA ABO , 45   o . b) Ta có: CB SA ^ và CB AB ^ , suy ra CB SAB ^   ; CD SA ^ và CD AD ^ , suy ra CD SAD ^  . Do đó, nếu gọi góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAD là b thì b = = = CB CD BCD , 90   o .
2. Hai mặt phẳng vuông góc Định nghĩa Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông. Hai mặt phẳng P và Q vuông góc được kí hiệu là P Q  ^ . Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc Định lí 1 Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một vuông góc với nhau. Chứng minh rằng các mặt phẳng  ABC, BAD , CAD đôi một vuông góc với nhau. Lời giải Ta có AB AC ^ , AB AD AB CAD ^ Þ ^   Þ ^  ABC CAD   , BAD CAD  ^  . Tương tự ta cũng có CA AB ^ , CA AD ^ Þ ^ Þ ^ CA BAD CAD BAD       . Vậy các mặt phẳng  ABC, BAD , CAD từng đôi một vuông góc với nhau. Hoạt động 1. Cho hình chóp S ABCD . có các cạnh bên bằng nhau và đáy là hình vuông. Chứng minh rằng: a) SAC ABCD  ^  . b) SAC SBD  ^  . Lời giải
Vì S.ABCD có cạnh bên bằng nhau và là hình vuông nên S.ABCD là hình chóp đều. Gọi O là tâm của đáy. Ta có: SO ABCD ^ ) a) Ta có SO ABCD SO SAC ^ Î  ;   nên SAC ABCD ) ^   b) Vì SO ABCD ^   nên SO AC ^ Mà ABCD là hình vuông nên AC BD ^ . Suy ra AC SBD ^   và SAC SBD ) ^   Vận dụng 1: Mô tả cách kiểm tra một bức tường vuông góc với mặt sàn bằng hai cái êke trong Hình 10. Lời giải Đặt 1 cạnh của 2 êke sát với mặt sàn sao cho cạnh còn lại của 2 êke chạm nhau tạo thành 1 đường thẳng. Nếu đường thẳng đó nằm sát với bức tường thì bức tường vuông góc với mặt sàn 3. Tính chất cơ bản về hai mặt phẳng vuông góc Định lí 2 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S ABC . có SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC. Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh SM ABC ^   . Lời giải Theo đề bài ta có SAB ABC  ^   . Ta có tam giác SAB đều và M là trung điểm của AB , suy ra SM AB ^ . Đường thẳng SM nằm trong SAB và vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt phẳng SAB và  ABC. Từ đó suy ra SM ABC  ^   . Định lí 3 Ví dụ 4.Cho hình chóp S ABC . có cạnh SA bằng a , đáy ABC là tam giác đều với cạnh bằng a . Cho biết hai mặt bên SAB và SAC cùng vuông góc với mặt đáy  ABC. Tính SB và SC theo a . Lời giải Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.