Tiêu đề Chương 2_Bài 2_Cấp số cộng_Lời giải_Toán 11_CD.pdf ✅

BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d , tức là: 1 ( 2). n n u u d n     Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Nếu un  là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n  2 , ta có: 1 . n n u u d    Chú ý: Khi d  0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi. II.SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un = u1 + (n ― 1)d với n ≥ 2. Nhận xét: Từ công thức un = u1 +(n ―1)d, ta có: n = un ― u1 d +1 với n ≥ 2. III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG Cho cấp số cộng un  có số hạng đầu 1 u và công sai d . Đặt n 1 2 3 n S  u  u  u  u . Khi đó:  1  . 2 n n u u n S   Nhận xét: Do un  u1  n 1 d nên u1  un  2u1  n 1 d . Suy ra 2 1  1 2 n u n d n S        . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao? a) 10,2,14,26,38 ; b) 1 5 11 7 , ,2, , 2 4 4 2 c) 1, 2, 3, 4, 5 ; d) 1,4,7,10,13 . Lời giải a)Ta có: 10;2; 14;  26;  38 là cấp số cộng có số hạng đầu 1 u 10 và công sai của cấp số cộng là: d   12 b) Ta có: 1 5 11 7 ; ;2; ; 2 4 4 2 là cấp số cộng có số hạng đầu là 1 1 u 2  và công sai 3 4 d  . c)Ta có: 2 2 2 2 2 1 ;2 ;3 ;4 ;5 không là cấp số cộng vì 2 2 2 2 2 1  3  2 . d) Ta có: 1;4;7;10;13 là cấp số cộng có số hạng đầu là 1 u 1 và công sai d  3 Bài 2. Trong các dãy số un  với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu 1 u và công sai d . a) 3 2 n u   n b) 3 7 5 n n u   c) 3 n n u  . Lời giải a) Ta có: 1 3 2 1 3 2 2 1 2 n u n n n          Suy ra 1 1 2 3 3 n n u u n       . Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu 1 u 1 và công sai d   2 .
b) Ta có:   n 1 3 1 7 3 10 u 5 5 n n       Xét hiệu 1 3 10 3 7 3 5 5 5 n n n n u u        . Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu 1 u  2 và công sai 3 d 5  . c) Ta có: 1 1 3 3.3 n n n u     Xét hiệu 1 3.3 3 2.3 n n n n n u u      . với * n Vì vậy đây không là một cấp số cộng. Bài 3. Cho cấp số cộng un  có số hạng đầu 1 u  3, công sai d  5 . a) Viết công thức của số hạng tổng quát n u . b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không? Lời giải a) Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng n u là: 1 u  3 (n 1).5  5n 8 . b) Xét 492 n u   5n 8  492  n 100 . Vậy số 492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng trên. c) Xét 300 n u   5n 8  300  n  61,6  Vậy không tồn tại số hạng trong cấp số cộng bằng 300. Bài 4. Cho cấp số cộng un  có 1 2 u  4,u 1. Tính 10 u . Lời giải Công sai của cấp số cộng un  là d = 2 1 u  u 1 4  3 . Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là: 1  1 4  1 ( 3) n u  u  n  d   n    Suy ra u10  4  10 13  31. Bài 5. Cho cấp số cộng un  với 1 1 3 u  và 1 2 3 u  u  u  1. a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát n u . b) Số - 67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không? Lời giải 1 2 3 1 1 1 1 1 a) Ta có: 1 2 1 3 3 1 1 2 Mà nên 3 3 u u u u u d u d u d u d                   Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là:   1 2 2 1 1 3 3 3 3 n u   n    n  với mọi * n  N . b) Xét 2 1 67 3 3 n u   n   
2 202 3 3 101 n n       Vậy số 67 là số hạng thứ 101 của dãy. c) Xét 7 n u  2 1 7 3 3 2 20 3 3 n n         n  10  Vậy số 7 không phải là một số hạng trong cấp số cộng. Bài 6. Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số un  với 0,3 5 n u  n  với mọi n  1. Lời giải Ta có: 1 0,3  1 5 0,3 5,3 n u n n        Xét hiệu 1 0,3 5,3 0,3 5 0,3 n n u u n n        . Do đó un  là một cấp số cộng với số hạng đầu 1 u  5,3 và công sai d  0,3. Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng un là: 5,3  1.0,3 n u   n  Suy ra u100  5,3 100 10,3  35 . Vậy tổng của 100 số hạng đầu của dãy số là:   100 100 5,3 35 S 2015 2    . Bài 7. Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: 75 5 1. n x   n  (Nguồn: https:///bibabo.vn) a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét? b) Dãy số  xn  có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét? Lời giải a) Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa bé phát triển bình thường là: x3  75  531  85 cm b) Ta có: 1 75 5 1 1 75 5 n x n n        Xét hiệu 1 75 5 75 5 1 5 n n x x n n             Do đó  xn  là một cấp số cộng có số hạng đầu 1 x  75 và công sai d  5 Bài 8. Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu. Phuơng án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu. Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi: a) Kí hợp đồng lao động 3 năm? b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?
Lời giải +) Theo phương án 1: Gọi (un) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm. Dãy số n u lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu 1 u 120 và công sai d 18 . Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là: 120  1 18 n u   n   . +) Theo phương án 2: Gọi vn  là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2 qua từng quý. Dãy số vn  lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu 1 v  24 và công sai d 1,8. Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là 24  11,8 n v   n  . a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý ta có: +) Theo phương án 1: 3 u 120 + (3 - 1).18 = 156 (triệu đồng) Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là:   3 3 120 156 414 2 S     (triệu đồng). +) Theo phương án 2: u12  24  12 11,8  43,8 . Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng với 12 quý là:   12 12 24 43,8 406,8 2 S     (triệu đồng). Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 1. b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý ta có: +) Theo phương án 1: u10 120  10  1.18  282 (triệu đồng) Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là:   10 10 120 282 2010 2 S     (triệu đồng). +) Theo phương án 2: u40  24  40 11,8  94,2 (triệu đồng). Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm tương ứng với 40 quý là:   12 40 24 94,2 2364 2 S     (triệu đồng). Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 10 năm thì nên theo phương án 2. C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Nhận dạng 1 dãy số là cấp số cộng 1. Phương pháp Sử dụng định nghĩa un  là một cấp số cộng khi và chỉ khi 1 , n n u u d    với d là một hằng số. Để chứng minh dãy số un  là một cấp số cộng, ta xét n 1 n d u u    • Nếu d là hằng số thì un  là một cấp số cộng với công sai d. • Nếu d phụ thuộc vào n thì un  không là cấp số cộng. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng. a) Dãy số un  với 2020 2021. n u  n  b) Dãy số un  với 2 5. n u   n  Lời giải a) Dãy số un  với 2020 2021. n u  n  Ta có 1 2020 1 2021 2020 2021 2020. n n u u n n        