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गणित अध्याय-2: एक चर वालेरैखिक समीकरि
(1) 02 एक चर वाले रैखिक समीकरण समीकरि हम बीजीय व्यंजकों और समीकरणों सेपररचित हैंक्योंकक हम इनका अध्ययन पपछली कक्षा में कर िुके हैं। बीजीय व्यंजक वेगणणतीय व्यंजक हैंणजनमेंसंख्याओंऔर अंग्रेजी वणणमाला के अक्षरों का संयोजन होता है। समीकरणों में, बराबर का चिह्न (=) होता हैणजसका प्रयोग बीजीय व्यंजकों मेंनह ंककया जाता है। एक िर वालेरैखिक समीकरण (Linear Equation in One Variable) के बारेमेंजाननेसेपहलेहम बीजीय व्यंजकों और समीकरणों के कु छ उदाहरण लेतेहै। बीजीय व्यंजकों और समीकरणों के कु छ उदाहरण। बीजीय व्यंजक – 2x + 3, 3xz – y + z, 6x2, y2 – 1 + x, x + y + z समीकरण – x + 5 = 1, 7y = 49, 2x + y = 8, 6 x 2 – 1 = 0, 9t/3 = 10 बीजीय व्यंजकों और समीकरणों के उपरोक्त उदाहरणों में, कु छ मेंएक सेअचिक िर हैंऔर कु छ के घात का मान 1 सेअचिक है। हमेंइस कक्षा मेंएक िर वालेरैखिक समीकरणों का अध्ययन करना है। रैखिक समीकरण ककस प्रकार के समीकरण होतेहैंऔर एक िर वालेरैखिक समीकरणों के णलए क्या शतेंहोती हैं? आइए इसेववस्तृत समझतेहैं।
(2) 02 एक चर वाले रैखिक समीकरण एक चर पररभाषा मेंरैखिक समीकरि एक िर मेंएक रैखिक समीकरण एक ऐसा समीकरण होता हैणजसमेंक्रम 1 का अचिकतम एक िर होता है। यह ax + b = 0 के रूप मेंहोता है, जहााँx िर है। इस समीकरण का के वल एक ह हल है। कु छ उदाहरण हैं: • 3x = 1 • 22x-1=0 • 4x+9=-11 एक चर मेंरैखिक समीकरिों का मानक रूप एक िर मेंरैखिक समीकरणों के मानक रूप को इस प्रकार दशाणया गया है: कु ल्हाडी + B = 0 कहााँपे, 'A' और 'B' वास्तववक संख्याएं हैं। 'A' और 'B' दोनों शून्य के बराबर नह ंहैं। इस प्रकार, एक िर मेंरैखिक समीकरण का सूत्र ax + b = 0 है। एक चर वालेरैखिक समीकरि क्या होतेहैं वेसमीकरण णजनमेंके वल एक िर होता हैऔर णजनकी घात का मान के वल 1 होता है, एक िर वालेरैखिक समीकरण (Linear equation in one variable) कहलातेहै। समीकरण की घात का मान 1 होना िाहहए अर्ाणत समीकरण मेंप्रयुक्त िर की घात 1 होनी िाहहए। उदाहरण – 1) 4x + 8 = 2 2) 7y = 0 3) 2z – 1 = 9
(3) 02 एक चर वाले रैखिक समीकरण 4) 5 – 3x = 0 5) x + 6 = 7 उपरोक्त उदाहरणों की सहायता से, हम एक िर वालेरैखिक समीकरणों का सामान्य रूप बना सकतेहैंजो कक ax + b = 0 है। इसेमानक रूप भी कहा जाता है। कौन सेसमीकरण एक िर वालेरैखिक समीकरण नह ंहोतेहैं? आइए कु छ उदाहरणों सेसमझते हैं। रैखिक समीकरिों को एक चर मेंहल करना के वल एक िर वालेसमीकरण को हल करनेके णलए, ननम्नणलखित िरणों का पालन ककया जाता है: चरि 1 : LCM का प्रयोग करतेहुए, चभन्नों को यकद कोई हो, तो हटा दें। चरि 2: समीकरण के दोनों पक्षों को सरल कीणजए। चरि 3: िर को अलग करें। चरि 4: अपना उत्तर सत्यापपत करें। समीकरि को हल करना समीकरण के संतुलन को बनाए रिनेके णलए हम समीकरण के एक पक्ष मेंजो संकक्रया करेंउसे दूसरेपक्ष मेंभी अवश्य करना िाहहए। ककसी समीकरण को हल करनेका यह मूलभूत ननयम है। पक्ाांतरि ववधि पक्षांतरण ववचि ककसी समीकरण को हल करनेकी सबसेसुवविाजनक ववचि है। इस ववचि को अपनानेके णलए ननम्नणलखित ननयमों का प्रयोग ककया जाता है: 1. ककसी समीकरण का कोई पद णजसेएक पक्ष सेदूसरेपक्ष मेंस्थानांतरण या पक्षांतरण ककया जा सकता हैअपना चिह्न बदल देता है। जैसे, । यकद x - 12 = 5, तो x = 5 + 12;
(4) 02 एक चर वाले रैखिक समीकरण यकद x + 1 = (-2x), तो x + 2x = (-1); 2. एक पक्ष मेंयकद ककसी संख्या सेककसी िर या अिर मेंववभाजन ककया जा रहा हैतो। पक्षांतरण के बाद उसेसंख्या सेगुणन ककया जाएगा। इसके उलट भी सत्य है। जैसे, = 10 हो जाता हैx = 10 x 5 = 50; 5x = 10 हो जाता हैx = 10 = 2 इस ननयम के प्रयोग सेिरों को बायेंपक्ष मेंऔर अिर पदों को दायेंतरफ पक्षांतरण कर कदया गया है। ककसी चभन्न का अंश हर से3 कम है। यकद अंश में1 का योग ककया जाए तो हर में3 की वृणि होती हैऔर चभन्न- के बराबर हो जाता है। असली चभन्न का पता कीणजए। हल: मान लीणजए कक असली चभन्न का हर x है। यकद अंश हर से3 कम हैतो अंश = x - 3. असली चभन्न = x -3 नए चभन्न का हर = x + 3 नए चभन्न का अंश = (x - 3) + 1 = x - 2 नया चभन्न = X नया चभन्न हो जाता है। X + 3 एक चर मेंरैखिक समीकरि के हल का उदाहरि दोनों पक्षों के िर वालेसमीकरणों को हल करनेके णलए, ननम्नणलखित िरणों का पालन ककया जाता है: समीकरण पर वविार करें: 5x - 9 = -3x + 19