Tiêu đề Đề số 13.docx ✅

1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 13 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM. (6,0 điểm). Câu 1: Rút gọn biểu thức 222 2224 42 16 xyxxyy P xyxy    với 0xy ta được A. 1 P xy    . B. 1 P xy    . C. 1 P xy  . D. 1 P xy  . Câu 2: Cho đường tròn ()O có dây cung 28AB . Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Biết khoảng cách từ M đến dây AB bằng 2. Bán kính của đường tròn ()O là A. 40. B. 50. C. 30. D. 45. Câu 3: Cho hình thang ABCD có ˆˆˆ 90,60,3,ABCADDBDC . Diện tích S của hình thang ABCD là A. 73 2S . B. 73 4S . C. 143S . D. 73S . Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hàm số 2yx có đồ thị ()P và hàm số (56)1525ymxm ( m là tham số) có đồ thị là đường thẳng d . Gọi 0m là giá trị của tham số m để d cắt ()P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 12,xx thỏa mãn 22 1226xx . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. 03m . B. 031m . C. 01m . D. 011m . Câu 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho Parabol 2():Pyx và đường thằng ():28dyx . Gọi A, B là các giao điểm của ()d và ()P . Tọa độ tất cà các điểm trên ()P cách đều hai điểm A, B là A. 749 ;,(3;9) 24     . B. 749 ;,(3;9) 24     . C. 749 ;,(3;9) 24    . D. 749 ;,(3;9) 24    . Câu 6: Cho đường tròn (;)OR đường kính AB và M là điểm di động trên đường tròn (,)MAB . Kẻ MH vuông góc với AB tại H . Diện tích tam giác MOH lớn nhất bằng A. 2 4 R . B. 2 6 R . C. 2 3 R . D. 2 2 4 R . Câu 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 3,0xy và 2221xyx . Giả trị lớn nhất của biểu thức 33Pxyxy bằng A. 7 . B. 25 . C. 14 . D. 10 . Câu 8: Cho biểu thức 20 1053P  . Khi rút gọn P về dạng 3Pab , với a và b là các số nguyên, tính ab A. 8ab . B. 8ab . C. 32ab . D. 32ab . Câu 9: Cho nửa đường tròn (;)OR đường kính BC, điểm A thay đổi trên nửa đường tròn ( A không trùng với B và C ). Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Gọi I, K lần lượt là các điểm đối xứng với H qua AB và AC. Diện tích tứ giác BIKC lớn nhất bằng A. 2 3 . 4 R B. 2 2R . C. 2 2 3 R . D. 2 R . Câu 10: Cho hệ phương trình 251 22 xym xy     ( m là tham số). Số giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (;)xy thỏa mãn 222xy là A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
2 Câu 11: Cho parabol 21 (): 2Pyx và hai điểm (2;2),(4;8)AB nằm trên ()P . Gọi M là điểm thay đổi trên ()P và có hoành độ là (24)mm . Khi tam giác ABM có diện tích lớn nhất, độ dài của đoạn thằng OM là A. 5 2 . B. 22 . C. 5 . D. 0. Câu 12: Tích các giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng 21yxm bằng 1 là A. -4. B. 6. C. 24. D. -24. Câu 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để các hàm số 5 (32)ymxm m và 23 1 23yxm m  cùng đồng biến trên ℝ ? A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Câu 14: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn 1abbcca . Rút gọn biểu thức  2 22 ()1 11 bca Q bc    , ta được A. 3 abc Q  . B. 1Q . C. 3Qbc . D. 222 Qabc . Câu 15: Cho hệ phương trình 1 31 xmym mxym     ( m là tham số). Tổng bình phương các số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (;)xy mà x, y đều là số nguyên là A. 14. B. 9. C 13. D. 0. Câu 16: Cho tam giác ABC cân tai A và 5,6ABBC . Kẻ đường cao BH của tam giảc ABC. Tỉ số AH AC bằng A. 7 25 . B. 2 5 . C. 3 10 . D. 2 7 . Câu 17: Cho phương trình: 22(2)230xmxmm ( x là ẩn, m là tham số). Tổng tất cả các giá trị A. 12. B. 3. C. 18. D. 15. ab vơi ,2ab . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. 219ab . B. 217ab . C. 28ab . D. 214ab . Câu 19: Cho đường tròn (0,43) có hai đây AB và CD vuông góc với nhau. Khi đó 22ADBC bằng A. 80. B. 96. C. 192. D. 483 . Câu 20: Cho phương trình 223(1)2520xmxmm . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 1x và 2x thỏa mãn 12122xxxx ? A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. II. PHẦN TỰ LUẬN. (14,0 điểm). Câu 1. (5,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức 2 4131 1 xxxxx P xxxxxxxx    , với 0x . 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng :(1)2(1)dymxmm . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d tạo với hai truc tọ̣a độ một tam giác có diện tích bằng 2. 3. Giải phương trình 32826351133xxxx . Câu 2. (4,0 điểm)
3 1. Tìm các số nguyên dương a, b để 2244abab là số chính phương. Chứng minh 4(27)3f là một số nguyên tố. 2. Cho đa thức 2024202320222023200210012023(),,,fxxaxaxaxaaaaℤ có (72)20f . Chứng minh 4(27)3f là một số nguyên tố. Câu 3. (4,0 điểm) Cho đường tròn (,)OR có dây BC cố định (2)BCR . Trên cung lớn BC của đường tròn lấy điểm A sao cho ACABBC . Đường tròn ()I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Các tia BI, CI cắt DE theo thứ tự tại M, N. 1. Chứng minh tứ giác BIND là tứ giác nội tiếp 2. Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh BC tại điểm P . Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN. Chứng minh .2.MNPFMFNP . 3) Khi điểm A di chuyển trên cung lớn BC sao cho ACABBC , chứng minh ABBCCA MNMDNE   không đổi. Câu 4. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 3xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 222 222222 . 152681526815268 xyz P xxyyyyzzzzxx   Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Hướng dẫn chấm I. PHẦN TRẮC NGHIỆM. (6 điểm – Mỗi đáp án đúng được 0,3 điểm). Mã đề thi: 191 1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.A 7.D 8.D 9.B 10.B 11.A 12.A 13.D 14.B 15.C 16.A 17.B 18.D 19.C 20.C II. PHẦN TỰ LUẬN. (14,0 điểm). Câu Nội dung Điểm Câu 1. 5,00 1. Rút gọn biểu thức 2 4131 1 xxxxx P xxxxxxxx    , với 0x . 2,00 (2,0 Điểm) Với 0x , ta có: 4131 (1)(1)(1)(1)(1) xxxxx P xxxxxxxxxx    0,50 (4)13(1)(1) (1)(1)(1)(1)(1)(1) xxxxxxx xxxxxxxxxxxx    0,50 23(23) (1)(1)(1)(1) xxxxxxx xxxxxxxx    0,50 (1)(3)3 . (1)(1)1 xxxx xxxxxx    0,50 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng :(1)2(1)dymxmm . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d tạo với hai truc tọ̣a độ một tam giác có diện tích bằng 2. 1,50 d cắt trục Ox tại 2 ;0, 1 m Ad m    cắt trục Oy tại (0;2)Bm 0,25 0,25
4 (1,5 điểm) Tam giác AOB vuông tại , có 112 22|2|2 221AOB m SOAOBm m    0,25 2 2 2 (2)4(1)(1) (2)4|1| (2)4(1)(2) mm mm mm      0,25 2 (1)880422mmm (thoả mãn) 0,25 2 (2)00mm (thoả mãn). Vậy các giá trị cần tìm của m là 0,422mm . 0,25 3. Giải phương trình 32826351133xxxx . 1,50 (1,5 điểm) Điều kiện xác định: *1510 5xx . Phương trình đã cho tương đương với 328267(63)3510xxxxx 0,25 (41)(27)3[(21)51]0xxxxx 0,25 234 (41)(27)0 (21)51 xx xxx xx    3 (41)270 (21)51xxx xx     0,25 0 1 4 3 270 2151 x x x xx            Nhận thấy 0x và 1 4x là các giá trị thỏa mãn. 0,25 Xét phương trình (2): 3 270 2151x xx  3 21 3 5 1382151 5105270 55332151 2733 275 5 x xx xxx xx x x            0,25 Do đó (2) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 1 0; 4    . 0,25 Câu 2. 4,00 1. Tìm các số nguyên dương a, b để 2244abab là số chính phương. Chứng minh 4(27)3f là môt số nguyên tố. 2,00 Ta có 2244abab là số chính phương, suy ra 22244(*)ababm với m là một số tự nhiên. Do a, b là các số nguyên dương nên 222244ababab , hay 2222()mabab (1). 0,5