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Université Mohammed V de Rabat Faculté des Sciences Département de Mathématiques Recueil d'Exercices Corrigés Mesure et Intégration Allal Ghanmi Mesures et Intégration - M28 - SMA 5 2019-2020
2 Exercices sur les Tribus et notions associ ́ees Exercice 1. (Tribu trace (induite)): Soit X un ensemble non vide et C ⊂ X. (1) Soit M une tribu sur X. Montrer que MC := {A ∩ C; A ∈ M} est une tribu sur C. (2) On suppose que X est un espace topologique et que M est la tribu borelienne de ́ X, M = B(X). Montrer que la tribu trace MC de M = B(X) sur C est la tribu borelienne ́ B(C) de C. Solution 1) Montrons que MC = {A ∩ C; A ∈ M} est une tribu sur C. On a bien ∅ = ∅ ∩ C ∈ MC vu que ∅ ∈ M (de meme ˆ C = X ∩ C ∈ MC puisque X ∈ M). Si (Bn)n ⊂ MC, il existe (An)n ⊂ M telle que Bn = An ∩ C pour tout n. D’ou` [ n∈N Bn = [ n (An ∩ C) = [ n An ! ∩ C avec S n∈N An ∈ M, car M est une tribu. Il en resulte alors que ́ S n∈N Bn ∈ MC. Stabilite par compl ́ ementation (dans ́ C): Soit B ∈ MC. Il existe donc A ∈ M tel que B = A ∩ C. Par suite { B C = C\B = C\ (A ∩ C) = C ∩ (A c ∪ C c ) = (C ∩ A c ) ∪ (C ∩ C c ), ou` A c designe le compl ́ ementaire de ́ A dans X. Puisque C ∩ C c = ∅, d’ou` { B C = A c ∩ C, avec A c ∈ M car M est une tribu. Alors { B C ∈ MC. Ceci montre que MC est une tribu sur C. 2) Montrons que B(C) = MC avec M = B(X). Notons tout d’abord que B(C) = σ(OC) ou` OC = {O ∩ C;O ∈ OX}. Comme OX ⊂ σ(OX) = B(X), on deduit que ́ OC ⊂ {O ∩ C;O ∈ B(X)} = MC, i.e., MC est une tribu sur C contenant les ouverts de C. Par consequent la tribu ́ B(C) contient la plus petite tribu contenant les ouverts de C, B(C) = σ(OC) ⊂ σ(MC) = MC. Montrons maintenant que MC ⊂ B(C) = σ(OC). Ceci est equivalent ́ a montrer ` que tout el ́ ement ́ A ∩ C de MC; A ∈ B(X), est un el ́ ement de ́ σ(OC). Ceci est encore equivalent ́ a que ` A ∩ C ∈ B(C) pour tout A ∈ B(X), ou encore a que ` B(X) ⊂ S avec S = {A ⊂ X; A ∩ C ∈ B(C)}. Pour conclure, il suffit de montrer que (X) = σ(OX) ⊂ S . Ceci resulte imm ́ ediatement ́ du deux points suivants i) S est une tribu sur X. ii) OX ⊂ S . En effet, ii) est immediat: pour tout ́ O ∈ OX, on a O ∩ C ∈ OC ⊂ (C). Pour i), il est clair que X ∈ S . Soit (An)n ⊂ S . Alors, [ n An ! ∩ C = [ n (An ∩ C) ∈ (C). De plus si A ∈ S , alors (A c ∩ C) = C\A = C\(A ∩ C) = C A∩C C puisque A ∩ C ∈ (C) qui est une tribu, et alors C A∩C C ∈ (C).
3 Exercice 2. (Tribus images): Soient X et Y des ensembles et f : X −→ Y une application. (1) Montrer que si M0 est une tribu sur F, alors f −1 (M0 ) = f −1 (B); B ∈ M0 est une tribu sur X. (Tribu image reciproque) ́ (2) Que dire de l’image d’une σ-algebre sur ` X? (3) Montrer que si M est une tribu sur X, alors M0 = B ⊂ Y; f −1 (B) ∈ M est une tribu sur Y. (Tribu image directe) Solution (1) On a X = f −1 (Y), puisque f est une application. Comme Y ∈ σ(C), on deduit ́ que X ∈ f −1 (M0 ). Si A ∈ f −1 (M0 ), alors A = f −1 (B) pour certain B ∈ M0 . Par suite, on a A c = (f −1 (B))c = f −1 (B c ) avec B c ∈ M0 , et donc A c ∈ f −1 (M0 ). Soit maintenant (An)n ⊂ f −1 (M0 ). Alors An = f −1 (Bn) pour certain (Bn)n ⊂ M0 . D’ou` [ n An = [ n f −1 (Bn) = f −1 [ n Bn ! avec S n Bn ∈ M0 (comme reunion d ́ enombrable d’ ́ el ́ ements ́ Bn de la tribu M0 ). Ceci montre que [ n An ∈ f −1 (M0 ). Conclusion: f −1 (M0 ) est une tribu sur X. (2) Etant donne une tribu sur ́ X, disons M. L’image directe de M par l’application f ; X −→ Y est definie par ́ f(M) = {F(A), A ∈ M}. f(M) n’est forcement ́ une σ-algebre sur ` Y. Pour le contre-exemple, on peut prendre f : R −→ R avec f(x) = x 2 et M = σ(R+) = {∅, R+, R−∗ , R}. En effet, on a f(M) = { f(∅), f(R+), f(R−∗), f(R)} = {∅, R+}. Il est clair que f(M) n’est pas une tribu sur R. (3) Comme f −1 (Y) = X ∈ M, on deduit que ́ Y ∈ M0 . Si B ∈ M0 , alors f −1 (B) ∈ M. Par suite f −1 (B c ) = (f −1 (B))c ∈ M et donc B c ∈ M0 . Soit maintenant (Bn)n ⊂ M0 . Alors f −1 (Bn) ∈ M pour tout n. Il en resulte que ́ f −1 [ n Bn ! = [ n f −1 (Bn) ∈ M. Ceci prouve que [ n Bn ∈ M0 . Conclusion: M0 est une tribu sur Y. Exercice 3. Soit X un ensemble infini et S = {{x} ; x ∈ X}. Determiner la tribu en- ́ gendree par ́ S (distinguer les cas X denombrable et non d ́ enombrable). ́ Solution Soit X un ensemble infini et S = {{x} ; x ∈ X}. On determine la tribu en- ́ gendree par ́ S .