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2 Physique (13 points) Les deux parties sont indépendantes La descente VTT est une discipline sportive dans laquelle le but est de descendre, à l'aide d'un VTT, des pistes hors des routes à travers la montagne dans un laps de temps le plus court possible. Le coureur doit faire preuve d'engagement, de technicité pour affronter les obstacles naturels rencontrés lors d'une descente. - La première partie de ce problème sera consacrée au principe d’une commande de vitesse de vélo. - La deuxième à l’étude du mouvement d’un coureur avec son vélo sur une piste montagneuse. Partie I : (6 pt) On modélise une commande de vitesse d’un vélo par un plateau (P) de rayon R cm =10 et plusieurs pignons ( ) Pi de rayons différents compris entre 1 r cm = 2 et 6 r cm = 8 , qui sont fixés sur l’axe de la roue arrière. Le plateau et les pignons sont reliés par une chaîne non glissante. (Voir figure 1) 1. Soient ω la vitesse angulaire du plateau et ωi la vitesse Angulaire d’un pignon ( ) Pi de rayon i r . Montrer que : i i R r   = (1 pt) 2. 2.1. Calculer le nombre de tours n1 effectué par le pignon P1 de rayon r1=2cm quand le plateau effectue un tour. (0,5 pt) 2.2. Soit ni le nombre de tour effectuer par le pignon (Pi) de rayon ri. Déterminer le rayon ri correspondant à la valeur maximale de ni. (0,5 pt) 2.3. Sachant que le périmètre de la roue est p = 2m, calculer la distance parcourue par le vélo lorsque le plateau effectue un tour dans le cas où la chaîne est enroulée autour du pignon de rayon r1. (0,5 pt) 3. Lors d’un trajet rectiligne sur une piste horizontal, la vitesse du coureur est constante et l’abscisse angulaire d’un point du plateau varie en fonction du temps comme le montre la figure 2 3.1. Déterminer la nature du mouvement du plateau. (0,5 pt) 3.2. Calculer la vitesse angulaire ω du plateau. (1 pt) 3.3. Déduire la période T du mouvement. (1 pt) 3.4. Ecrire l’équation horaire θ(t) du mouvement du plateau de l’abscisse angulaire du plateau. (1 pt) Partie II : (7 pt) Dans cette partie on étudie le mouvement d’un coureur avec son vélo sur une piste montagneuse constituée de trois trajets : - AB incliné d'un angle α = 20° par rapport au plan horizontal passant par le point B de longueur AB = 200m. - BC circulaire de rayon r = 30m. Les points B et C sont repérés respectivement par les angles α = 20° et θ = 45° par rapport à la droite verticale passante par M. - Lorsque le coureur arrive au point C, il quitte la piste pour sauter au-dessus d’un lac et tomber sur le point D qui appartient à la droite horizontale passante par M. 1 O t (s) 1 θ(rad) O 2 2 Figure 2
3 On assimile le système constitué du coureur et de son vélo par un système (S) de masse m kg = 80 et on néglige l’effet de l’air sur le système (S) au cours de son déplacement sur sa trajectoire de A à D On prend 1 g N kg 10 . − = . 1- Dans le repère ( , , ) O i j ,le système (S) se déplace sur le plan incliné AB avec une vitesse constante. (Voir Figure 3). 1.1. Faire l'inventaire des forces exercées sur le système (S) sur la partie AB. Représenter ces forces. (1 pt) 1.2. Enoncer le principe d’inertie. (0,5 pt) 1.3. Calculer le travail du poids lors du déplacement de A vers B. Déterminer sa nature. (1 pt) 1.4. Calculer le travail de la réaction du plan. Quel est sa nature ? (1 pt) 1.5. Montrer que l’intensité de la force de frottement f=m.g.sin(α). Calculer f. (0,5 pt) 1.6. a- Déterminer l'expression de la composante normale de la réaction du plan RN en fonction de m, g et α. (0,5 pt) b- Calculer RN (0,25 pt) c- Déduire le coefficient de frottement k = tan (φ). (0,25 pt) 1.7. Montrer que l'intensité de la force R exercée par le plan AB sur le coureur s'écrit sous la forme : 2 R m g = + . .cos( ) 1 tan ( )   .Calculer R. (0,5 pt) 2- Le coureur poursuit son mouvement sur la partie (BC) circulaire sans frottement. 2.1- Calculer la longueur de l’arc BC (0,5 pt) 2.2- Montrer que l’expression du travail du poids du corps du système (S) lors de son déplacement BC⃗⃗⃗⃗⃗ s’écrit sous la forme : ( ) (cos( ) cos( )) B C W P mgr   → = − . (0,5 pt) 3- Après le point C le coureur quitte la trajectoire pour tomber sur le point D et ainsi dépasser le lac. Sans calcule déterminer la valeur du travail ( ) C D W P → du poids du système (S) entre C et D. (0,5 pt)