Tiêu đề Chương 2_Bài 2_Hệ Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn_Đề bài_Toán 10_CTST.pdf ✅

BÀI 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm  x0 ; y0  có toạ độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trinh đó. 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ Oxy, ta thực hiện như sau: - Trên cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ. - Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình. Chú ý: Miền mặt phẳng toạ độ bao gồm một đa giác lồi và phần nằm bên trong đa giác đó được gọi là một miền đa giác. 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  ax  by trên một miền đa giác Hệ bất phương trình giúp ta mô tả được nhiều bài toán thực tế để tìm ra cách giải quyết tối uu, các bài toán này thường được đưa về việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức F  ax  by trên một miền đa giác. Ví dụ. Một người dùng ba loại nguyên liệu A,B,C để sản xuất ra hai loại sản phẩm P và Q . Để sản xuất 1kg mỗi loại sản phẩm P hoặc Q phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra 1kg sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau: Biết 1kg sản phẩm P lãi 3 triệu đồng và 1kg sản phẩm Q lãi 5 triệu đồng. Hãy lập phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất. Phương pháp giải Để giải bài toán tìm phương án tối ưu ở trên, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt biến số x, y cho các đối tượng cần tìm. Ví dụ. Đặt x là số kilôgam sản phẩm P và y là số kilôgam sản phẩm Q cần sản xuất. Bước 2. Lập các hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc. Ví dụ. 2 2 10 5 2 4 2 2 4 12 2 6 0 0 0 0                          x y x y y y x y x y x x y y
Bước 3. Xây dựng hàm mục tiêu cho giá trị mà ta muốn đạt giá trị tối ưu. Bước 4. Biễu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trinh (1) trên hệ trục toạ độ Oxy ta được một đa giác. Tìm toạ độ các đỉnh của đa giác. Ví dụ. Miền nghiệm là ngũ giác OCBAD,trong đó O(0;0);C(0;2);B(2;2) ; Bước 5. Do người ta đã chứng minh được F đạt GTLN hoặc GTNN tại một trong các đỉnh của đa giác nên ta chỉ cần tính các giá trị của hàm mục tiêu F tại các đỉnh của đa giác. Tìm ra đỉnh tại đó F đạt GTLN hoặc GTNN. Toạ độ của đỉnh này là phương án tối ưu cần tìm. Ví dụ. Tính giá trị của F tại các đỉnh: Tại O(0;0): F  3.0  5.0  0; Tại C(0;2): F  3.0  5.2 10 ; Tại B(2;2): F  3.2  5.2 16; Tại A(4;1): F  3.4  5.1 17 ; Tại D(5;0): F  35  50 15 . Tại đỉnh A(4;1), F đạt giá trị lớn nhất là 17 . Bước 6. Nêu kết luận dựa trên ngôn ngữ thực tế của bài toán. Ví dụ. Vậy phương án sản xuất tối ưu là làm ra 4kg sản phẩm P và 1kg sản phẩm Q . Khi đó sẽ có lãi cao nhất là 17 triệu đồng. B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 1. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau: a) 3 0 0 0           x y x y b) 2 0 3 2 3             x y x y y x c) 1 4 5 0 0            x x x y y Câu 2. Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là A và B. Cứ sản xuất mỗi thùng loại A thì nhà máy thải ra 0,25 kg khí carbon dioxide CO2  và 0,60kg khí sulful dioxide SO2 , sản xuất mỗi thùng loại B thì thải ra 0,50 kg CO2 và 2 0,20kgSO . Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng CO2 của nhà máy tối đa là 75 kg và 2 SO tối đa là 90kg mỗi ngày.

2. Ví dụ Ví dụ 1: Tìm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các hệ sau: a) 3 1 0 2 2 0; x y x y          b) 5 9 0 4 7 3 0; x y x y          c) 1 0 2 0; y x        d) 3 0 2 3 0 0 0 x y x y x y              Ví dụ 2: Cho hệ bất phương trình sau:   3 (1) 2 2 2 x y x y         a) Mỗi bất phương trình (1) và (2) có là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? b) Chỉ ra một nghiệm chung của hai bất phương trình (1) và (2) trong hệ trên Ví dụ 3: Chỉ ra một nghiệm của hệ bất phương trình sau: 2 0 3 6 4 x y x y x y             Ví dụ 4: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau 2 0 3 3 0. x y x y          Ví dụ 5: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau: 0 2 3 6 0. 2 1 0 x y x y x y              Ví dụ 6: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: 3 6 4 0 0 x y x y x y            Ví dụ 8: Xác định miền nghiệm của bất phương trình   3 3 (x  y) x  y  0 . Ví dụ 9: Cho biểu thức F  x; y  2x  y trên miền xác định bởi hệ 2 9 0 0 1 0 x y x y y             . Tìm giá trị lớn nhất của F Dạng 2. Bài toán tối ưu 1. Phương pháp Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ đến quy hoạch tuyến tính. Đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế.