Tiêu đề Đề số 3.docx ✅

Đề số 3 Câu 1. (2.0 điểm). Cho đa thức 32fxxaxbxc trong đó ,,abcℝ . Biết rằng khi chia đa thức fx cho đa thức 2x thì được dư là 5, còn chia đa thức fx cho đa thức 1x thì được dư là – 4. Tính giá trị biểu thức 201920192020202020212021abbcca . Câu 2. (2.0 điểm). Giải các phương trình sau: a) 2111xxx . b)  33 3 3 3 2 11 xx x xx  . Câu 3. (2.0 điểm). Cho 5351553515. 102102 nn fn    với * nℕ . Tính 11fnfn . Câu 4. (2.0 điểm). Tìm số tự nhiên x , biết 222222111111111.121612 23341415x    ⋯⋯ . Câu 5. (2.0 điểm). Cho các số p và 22p là các số nguyên tố. Chứng minh rằng 32p cũng là số nguyên tố. Câu 6. (2.0 điểm) Cho P là một điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD sao cho 3cm,PA 4,5PDcmPCcm . Tính độ dài đoạn thẳng PB . Câu 7. (2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 của một bệnh viện chỉ có bác sĩ và bệnh nhân. Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị. Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân nhiều hơn. Câu 8. ((2.0 điểm) Cho 22 2 tanab x ab  , trong đó 0ab và 090x . Hãy biểu diễn sinx theo ;.ab Câu 9. (2.0 điểm) Cho các số dương ,,abc thỏa mãn điều kiện 2020abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222222222222Paabbbbccccaa Câu 10. (2.0 điểm) Cho S là tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: Tổng của hai phần tử tùy ý của S là một số chính phương. (Ví dụ 5;20;44S hoặc 10;5;90S là các tập hợp thỏa mãn điều kiện trên). Chứng minh rằng tập hợp S có không quá một phần tử là số lẻ. HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. (2.0 điểm). Cho đa thức 32fxxaxbxc trong đó ,,abcℝ . Biết rằng khi chia đa thức fx cho đa thức 2x thì được dư là 5, còn chia đa thức fx cho đa thức 1x thì được dư là – 4. Tính giá trị biểu thức 201920192020202020212021abbcca . Lời giải Gọi thương trong phép chia đa thức fx cho đa thức 2x và 1x lần lượt là Px và Qx Theo đề ra ta có 25 1fxxPx 14 2fxxQx do với mọi x nên: - Thay 2x vào 1 ta có: 8425 3abc - Thay 1x vào 2 ta có: 14 4abc Từ 3 và 4 suy ra 42333abcabcabab 201920192019201920192019202020202021202100abababbcca . Câu 2. (2.0 điểm). Giải các phương trình sau: a) 2111xxx . b)  33 3 3 3 2 11 xx x xx  . Lời giải a) Điều kiện: 1x Ta có: 2111xxx 2 121111 1111 1111 xxx xx xx    110112xxx (TMĐK) Vậy tập nghiệm của phương trình là /2Sxxℝ . b) ĐK: 1x Ta có:  32 3 3 3 2 11 xx x xx 
3 2 3 2222 32 222 3 222 2 3 3..2 1111 3 3..2 1111 3 3.11 111 1111222 111 xxxx xxx xxxx xxxx xxxx xxx xxx xxx xx xxx                    2110x (phương trình vô nghiệm) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S . Câu 3. (2.0 điểm). Cho 5351553515. 102102 nn fn    với * nℕ . Tính 11fnfn . Lời giải 11fnfn 1111 53515535155351553515 102102102102 nnnn     1212 53515155351515 11 10221022 nn         11 53515155351515 .. 10221022 nn     5351553515 102102 nn fn    Vậy 11fnfnfn . Câu 4. (2.0 điểm). Tìm số tự nhiên x , biết 222222111111111.121612 23341415x    ⋯⋯ . Lời giải Ta thấy    22 224232 2222 22 11111222 1 111 nnnnnnnnn nnnnnn   
  2 2 2 222 2 111111 11 1111 nnnn nnnnnnnn    Áp dụng với 2,3,4...,14n ta có: 22222222 11111111 111...1 2334451415 111111111113 111...11313 233445141521530   Khi đó phương trình đã cho 1403113 13.16121612 30260 xxxx    2 12402240015160 150do 1616015 xxxxx xxx   Vậy 15x . Câu 5. (2.0 điểm). Cho các số p và 22p là các số nguyên tố. Chứng minh rằng 32p cũng là số nguyên tố. Lời giải - Xét 2p thì 22426p (loại). Vì 6 không là số nguyên tố. - Xét 3p thì 229211p (nhận). Vì 11 là số nguyên tố. Suy ra, 3323229p (nhận). Vì 29 là số nguyên tố. - Xét 3p . Vì p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3 (1). Mà pℤ suy ra 2p là số chính phương (2). Từ (1), (2) suy ra 2p chia cho 3 dư 1 . 2 2p chia hết cho 3. (3) Mặt khác, 2239211ppp (4) Từ (3), (4) suy ra 22p là hợp số (trái với đề bài). Vậy 3p thỏa mãn bài toán. Câu 6. (2.0 điểm) Cho P là một điểm nằm trong hình chữ nhật ABCD sao cho 3cm,4cm,5cmPAPDPC . Tính độ dài đoạn thẳng PB . Lời giải