Tiêu đề Bài 2_Tọa độ vecto và biểu thức tọa độ trong không gian_Lời giải_Toán 12_CD.pdf ✅

BÀI 2: TOẠ ĐỘ CỦA VECTO A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. TOẠ DỘ CỦA MỘT DIỂM 1. Hệ trục toạ độ trong không gian Hệ gồm ba trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ tọa độ Oxyz Chú ý: Ta gọi i , j, k    lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz . - Trong hệ toạ độ Oxyz (Hình 19), ta gọi: điểm O là gốc tọa độ; Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao; các mặt phẳng Oxy,Oyz,Ozx là các mặt phẳng toạ độ. - Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz. Nhận xét: Các mặt phẳng tọa độ Oxy,Oyz,Ozx đôi một vuông góc với nhau. Ví dụ 1. Một sân tennis với hệ toạ độ Oxyz được chọn như ở Hình 20. a) Hỏi mặt sân nằm trong mặt phẳng toạ độ nào? b) Trục Oz có vuông góc vối mặt sân hay không? Lời giải a) Mặt sân nằm trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy). b) Trục Oz vuông góc với mặt phẳng toạ độ Oxy nên trục Oz vuông góc với mặt sân. 2. Tọa độ của một điểm Nhận xét: Bộ số (4;5;3) gọi là toa độ của điểm M trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
Ta có định nghĩa sau (Hình 23): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M . Xác định hình chiếu M1 của điểm M trên mặt phẳng Oxy . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm hoành độ a , tung độ b của điểm M1 . Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng vối số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M . Bộ số a;b;c là tọa độ của điểm M trong không gian vợi hệ tọa độ Oxyz , kí hiệu là M a;b;c . Chú ý - Toạ độ của một điểm M trong không gian vôii hệ toạ độ Oxyz luôn tồn tại và duy nhất. - Người ta còn có thể xác định tọa độ điểm M theo cách sau (Hình 24 ): Xác định hình chiếu H của điểm M trên trục hoành Ox , điểm H ứng với số a trên trục Ox . Số a là hoành độ của điểm M . Xác định hình chiếu K của điểm M trên trục tung Oy , điểm K ứng vối số b trên trục Oy . Số b là tung độ của điểm M . Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz, điểm P ứng với số c trên trục Oz. Số c là cao độ của điểm M . Khi đó, bộ số a;b;c là tọa độ của điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A4;5;3 . Gọi 1 2 3 A , A , A lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng toạ độ Oxy,Oyz , Ozx (Hình 25). Tìm toạ độ của các điểm 1 2 3 A , A , A .
Lời giải Gọi A1  x1 ; y1 ;z1 , A2  x2 ; y2 ;z2 , A3  x3 ; y3 ;z3 . Với A4;5;3 , đặt 4, 5, 3 A A A x  y  z  . Ta có: 1 1 4; 5 A A x  x  y  y  và 1z  0 (vì A1 nằm trên mặt phẳng Oxy). Do đó A1 4;5;0. 2 2 5; 3 A A y  y  z  z  và 2 x  0 (vì A2 nằm trên mặt phẳng Oyz) . Do đó A2 0;5;3 . 3 3 4; 3 A A x  x  z  z  và 3 y  0 (vì A3 nằm trên mặt phẳng Ozx) . Do đó A3 4;0;3 . II. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ Toạ độ của điểm M được gọi là tọa độ của vectơ OM  . Nếu OM  có tọa độ a;b;c thì ta viết OM  a;b;c  , trong đó a gọi là hoành độ của vectơ OM ,b  gọi là tung độ của vectơ OM  và c gọi là cao độ của vectơ OM  (Hình 26). Chú ý: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ta có: OM  a;b;c  M a;b;c  ; Vectơ đơn vị i trên trục Ox có toạ độ là i  1;0;0  ;
Vectơ đơn vị j trên trục Oy có tọa độ là j  0;1;0  ; Vectơ đơn vị k  trên trục Oz có tọa độ là k  0;0;1  (Hình 27). Ví dụ 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm M 4;3;1 và N 2;1;3 . Tìm tọa độ của các vectơ OM ,ON   . Lời giải Ta có: M 4;3;1 và N 2;1;3 . Do đó, OM  4;3;1,ON  2;1;3   . Trong không gian vởi hệ toạ độ Oxyz , toạ độ của một vectơ u  là toạ độ của điểm A , trong đó A là điểm sao cho OA  u   . Nếu u  có tọa độ a;b;c thì ta viết u  a;b;c  , trong đó a gọi là hoành độ, b gọi là tung độ và c gọi là cao độ của vectơ u  . Ví dụ 4. Tìm tọa độ của các vectơ 1 2 A A, A A   ở Hình 30 . Lời giải Trong Hình 30, ta có: 1 2 A A  OL, A A  OH     mà L0;0;3 và H 4;0;0, Do đó, A1A  0;0;3  và A2A  4;0;0 