Tiêu đề 5. TN VDC ĐẠI SỐ TỔ HỢP-GV.docx ✅

QUY TẮC ĐẾM, HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP Câu 1: Số 6303268125 có bao nhiêu ước số nguyên? A. 420 . B. 630 . C. 240 . D. 720 . Hướng dẫn giải Chọn D. Cách 1: Áp dụng công thức: Nếu số N được phân tích thành thừa số các số nguyên tố dạng nk n kk pppN....21 21 thì số các ước nguyên dương bằng 1...1121nkkkk . Do đó số các ước nguyên của N là k2 . Với 234511.7.5.36303268125N thì có 72012131415.2 ước số nguyên. Cách 2: Áp dụng hàm sinh. Do 234511.7.5.36303268125N nên + Hàm sinh để chọn số 3 là: 54321xxxxx + Hàm sinh để chọn số 5 là: 432 1xxxx + Hàm sinh để chọn số 7 là: 321xxx + Hàm sinh để chọn số 11 là: 21xx Suy ra hàm sinh các ước nguyên dương của 6303268125 có dạng: 234523411fxxxxxxxxxx23211xxxxx Tổng số các ước nguyên dương của N là tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển trên, do đó số các ước nguyên dương của N là 3601f nên số ước nguyên của N là 720 . Câu 2: Đề cương ôn tập chương I môn lịch sử lớp 12 có 30 câu. Trong đề thi chọn ngẫu nhiên 10 câu trong 30 câu đó. Một học sinh chỉ nắm được 25 câu trong đề cương đó. Xác suất để trong đề thi có ít nhất 9 câu hỏi nằm trong 25 câu mà học sinh đã nắm được là. ( Kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn ). A. 0,449P . B. 0,448P . C. 0,34P . D. 0,339P . Hướng dẫn giải Chọn A. Chọn 10 câu bất kỳ từ 30 câu có 10 30C cách. Vậy số phần tử của không gian mẫu là: 1030nC . Gọi A là biến cố “trong đề thi có ít nhất 9 câu hỏi nằm trong 25 câu mà học sinh đã nắm được” 911025525.nACCC Vậy xác suất của biến cố A là: 911025525 10 30 CCC PA C  0,449 . Câu 3: Bé Minh có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ. Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bé Minh có tất cả bao nhiêu cách tô màu bảng?
A. 4374 . B. 139968 . C. 576 . D. 15552 . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta tô màu theo thứ tự sau: 1) Tô 1 ô vuông 4 cạnh: chọn 2 trong 3 màu, ứng với 2 màu được ta tô vào ô như sau: chọn 2 cạnh trong hình vuông đơn vị để tô màu thứ nhất có 2 46C cách (màu thứ 2 tô 2 cạnh còn lại). Do đó, có 2 36.C cách tô. 2) Tô 3 ô vuông 3 cạnh (có một cạnh đã được tô trước đó): ứng với 1 ô vuông có 3 cách tô màu 1 trong 3 cạnh theo màu của cạnh đã tô trước đó, chọn 1 trong 2 màu còn lại tô 2 cạnh còn lại, có 1 23.6C cách tô. Do đó có 36 cách tô. 3) Tô 2 ô vuông 2 cạnh (có 2 cạnh đã được tô trước đó): ứng với 1 ô vuông có 2 cách tô màu 2 cạnh (2 cạnh tô trước cùng màu hay khác màu không ảnh hưởng số cách tô). Do đó có 22 cách tô. Vậy có 23 36..6.415552C cách tô. Câu 4: Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là A. 44100 . B. 78400 . C. 117600 . D. 58800 . Hướng dẫn giải Chọn C. Đánh số các đỉnh là 12100,,...,AAA . Xét đường chéo 151AA của đa giác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều chia đường tròn ra làm 2 phần mỗi phần có 49 điểm từ 2A đến 50A và 52A đến 100A . + Khi đó, mỗi tam giác có dạng 1ijAAA là tam giác tù nếu iA và jA cùng nằm trong nửa đường tròn, chọn nửa đường tròn: có 2 cách chọn. + Chọn hai điểm iA , jA là hai điểm tùy ý được lấy từ 49 điểm 2A , 3A đến 50A , có 2 491176C cách chọn. Giả sử tam iA nằm giữa 1A và jA thì tam giác tù tại đỉnh iA . + Khi xét tại đỉnh jA thì tam giác 11jiijAAAAAA . + Vì đa giác có 100 đỉnh nên số tam giác tù là 2.1176.100 117600 2 tam giác tù. Câu 5: Cho đa giác đều 2n2, nnℤ đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 2n đỉnh của đa giác là A. 22122nnn . B. 12 2 nn . C. 12nnn . D. 12 2 nnn . Hướng dẫn giải
Chọn C. Đánh số các đỉnh là 122,,...,nAAA . Xét đường chéo 11nAA của đa giác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều chia đường tròn ra làm 2 phần mỗi phần có 1n điểm từ 2A đến nA và 2nA đến 2nA . + Khi đó, mỗi tam giác có dạng 1ijAAA là tam giác tù nếu iA và jA cùng nằm trong nửa đường tròn, chọn nửa đường tròn: có 2 cách chọn. + Chọn hai điểm iA , jA là hai điểm tùy ý được lấy từ từ 1n điểm 2A , 3A đến nA , có 2 1 21 2n nn C  cách chọn. + Giả sử tam iA nằm giữa 1A và jA thì tam giác tù tại đỉnh iA . Khi xét tại đỉnh jA thì tam giác 11jiijAAAAAA . + Vì đa giác có 2n đỉnh nên số tam giác tù là  221 .212 2.2 nn nnnn  . Câu 6: Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác vuông được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là A. 2450 . B. 98 . C. 4900 . D. 9800 . Hướng dẫn giải Chọn C. Đánh số các đỉnh là 12100,,...,AAA . + Mỗi tam giác vuông thì có một cạnh là đường kính của đường tròn (cũng là một đường chéo đi qua tâm của đa giác), có 50 đường kính. + Xét đường kính 151AA của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều chia đường tròn ra làm 2 phần mỗi phần có 49 điểm từ 2A đến 50A và 52A đến 100A . Chọn một đỉnh cho tam giác vuông 150iAAA , có 98 cách chọn. + Vậy số tam giác vuông là 50.984900 tam giác. Câu 7: Cho đa giác đều 2n 2, nnℤ đỉnh nội tiếp một đường tròn. Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm 122,,...,nAAA gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm 122,,...,nAAA . Số cạnh của của đa giác là A. 14 . B. 16 . C. 18 . D. 20 . Hướng dẫn giải Chọn B. + Số tam giác là 3 2nC . + Mỗi đa giác đều 2n đỉnh thì có n đường chéo đi qua tâm của đường tròn. Hai đường chéo đi qua tâm của đường tròn thì sẽ tạo ra một hình chữ nhật thỏa yêu cầu bài toán. Nên số hình chữ nhật là 2 nC . + Theo giả thuyết ta có : 32 220 nnCC 2n   2!! 20 23!.3!2!2! nn nn   2122 101 3 nnn nn 
2115n do 10,2nnn 8n . Vậy đa giác có 16 cạnh. Câu 8: Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A, B, C. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ 9 người đó trên một hàng ngang có 9 chỗ sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh. A. 4320 . B. 90 . C. 43200 . D. 720 . Hướng dẫn giải Chọn C Có 6! cách xếp chỗ cho các học sinh. Khi đó, với mỗi cách xếp chỗ cho các học sinh thì giữa các học sinh có 5 "khoảng trống" để xếp chỗ cho 3 thầy giáo nên có 3 5.3!C cách xếp chỗ cho các thầy giáo. Vậy có 3 56!..3!43200C cách xếp thỏa mãn. Câu 9: các chữ số 0,1,2,3,5,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3 . A. 36 số. B. 108 số. C. 228 số. D. 144 số. Hướng dẫn giải Chọn B. Gọi số cần lập là abcd + TH1: Chọn 3d= có 1 cách Chọn a có 4 cách. Chọn ,bc có 2 4A cách Þ Vậy có tất cả 2 44.48A= (số) + TH2: Chọn {}31;5dd¹Þ= có 2 cách. Chọn 3a= có 1 cách. Chọn ,bc có 2 4A cách Þ Vậy có tất cả 2 42.24A= (số) +) TH3: Chọn 31;5dd có 2 cách Chọn 3a *) Có thể giải cách khác:  xabcd là số lẻ: +) Chọn d có 3 cách +) Chọn a : có 4 cách +) Chọn ,bc có 2 4A cách Suy ra có 2 43.4.144A số lẻ.  xabcd là số lẻ không có chữ số 3. Tương tự như trên ta có 2 32.3.36A . Vậy có 14436108 số. Câu 10: Một nhóm 9 người gồm ba đàn ông, bốn phụ nữ và hai đứa trẻ đi xem phim. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên một hàng ghế sao cho mỗi đứa trẻ ngồi giữa hai phụ nữ và không có hai người đàn ông nào ngồi cạnh nhau? A. 288. B. 864. C. 24. D. 576.