Tiêu đề Bài 5.2_Tổng và hiệu 2 vecto_CTST_Lời giải.pdf ✅

BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU 2 VECTƠ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Quy tắc ba điểm Với ba điểm A,B,C, ta có:      AB BC AC . 2. Quy tắc hình bình hành Nếu OABC là hình bình hành thì ta có      OA OC OB 3. Tính chất của phép cộng các vectơ - Tính chất giao hoán:        a b b a ; - Tính chất kết hợp: (  )    (  )       a b c a b c ; - Với mọi vectơ a , ta luôn có:  0  0        a a a . 4. Hiệu của hai vecto Cho hai vectơ a và b . Hiệu của hai vecto' a và b là vectơ  ( )  a b và ki hiệu   a b . Chú ý: Cho ba điểm O, A,B ta có      OB OA AB. 5. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi   0    MA MB . Điểm G là trọng tâm của tam giác $A B C$ khi và chỉ khi    0     GA GB GC . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ.
1. Phương pháp giải. Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ  Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó.  Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có  0 ABC  30 và BC  a 5 . Tính độ dài của các vectơ AB  BC   , AC  BC   và AB  AC   . Lời giải (hình 1.10) Theo quy tắc ba điểm ta có  AB  BC  AC    Mà sin AC ABC BC   0 5 .sin 5.sin30 2 a  AC  BC ABC  a  Do đó 5 2 a AB  BC  AC  AC      AC  BC  AC CB  AB      Ta có 2 2 2 2 2 2 2 5 15 5 4 2 a a AC  AB  BC  AB  BC  AC  a   Vì vậy 15 2 a AC  BC  AB  AB      Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành. Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB  AC  AD    Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra AD  BC  a 5 Vậy AB  AC  AD  AD  a 5    Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm bất kỳ. a) Tính AB + AD , OA -CB , CD - DA       b) Chứng minh rằng u = MA + MB - MC - MD      không phụ thuộc vị trí điểm M . Tính độ dài vectơ u  Lời giải (hình 1.11) a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB + AD = AC    B A C D Hình 1.10
Suy ra AB + AD = AC = AC    . Áp dụng định lí Pitago ta có 2 2 2 2 AC = AB + BC = 2a Þ AC = 2a Vậy AB + AD = a 2   + Vì O là tâm của hình vuông nên OA = CO   suy ra OA -CB = CO -CB = BC      Vậy OA -CB = BC = a    + Do ABCD là hình vuông nên CD = BA   suy ra CD - DA = BA + AD = BD      Mà 2 2 BD = BD = AB + AD = a 2  suy ra CD - DA = a 2   b) Theo quy tắc phép trừ ta có u = (MA - MC ) + (MB - MD ) = CA + DB        Suy ra u  không phụ thuộc vị trí điểm M . Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC tại C ' . Khi đó tứ giác ADBC ' là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra DB = AC '   Do đó u = CA + AC ' = CC '     Vì vậy u = CC ' = BC + BC ' = a + a = 2a   Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ. 1. Phương pháp giải.  Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ. Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho năm điểm A,B,C,D,E . Chứng minh rằng a) AB +CD + EA = CB + ED      b) AC +CD - EC = AE - DB +CB       Lời giải a) Biến đổi vế trái ta có O A D B C C' Hình 1.11