Tiêu đề TÓM-TẮT-CÔNG-THỨC-TOÁN-THPT.pdf ✅

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT TOÁN THPT I. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hệ thức Cơ bản:  2 2 sin cos 1 α α + =  sin tan cos α α α =  cos cot sin α α α =  tan .cot 1 α α =  2 2 1 1 tan cos α α + =  2 2 1 1 cot sin α α + =  sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos k k k  απ α απ α ∀ ∈   + =   + =  tan( ) tan cot( ) cot k k k  απ α απ α ∀ ∈   + =   + = 2. Cung Liên kết: Đối: α ; −α Bù: α ; π α− Phụ: α ; 2 π −α Khác pi: απ α ; + Khác : ; 2 2 Pi π α α+ sin( ) sin − =− α α sin( ) sin πα α − = sin cos 2 π α α     − =   sin( ) sin πα α + =− sin cos 2 π α α     + =   cos( ) cos − = α α cos( ) cos πα α − =− cos sin 2 π α α     − =   cos( ) cos πα α + =− cos sin 2 π α α     + =−   tan( ) tan − =− α α tan( ) tan πα α − =− tan cot 2 π α α   − =     tan( ) tan πα α + = tan cot 2 π α α     + =−   cot( ) cot − =− α α cot( ) cot πα α − =− cot tan 2 π α α   − =     cot( ) cot πα α + = cot tan 2 π α α     + =−   Cos đối Sin bù Phụ chéo Khác Pi: tang, cotang Khác pi/2: sin bạn cos, cos thù sin 3. Công thức Cộng: sin( ) sin .cos cos .sin sin( ) sin .cos cos .sin ab a b a b ab a b a b ∗ += + ∗ −= − cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin ab a b a b ab a b a b ∗ += − ∗ −= + tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b + + = − tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b − − = + 4. Công thức Nhân đôi, Nhân ba: sin 2 2sin .cos α αα = 2 2 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin α αα α α = − = −=− 2 2 tan tan 2 1 tan α α α = − 3 sin 3 3sin 4sin αα α = − 3 cos3 4cos 3cos α αα = − 3 2 3tan tan tan 3 1 3tan α α α α − = − 5. Công thức Hạ bậc: 2 1 cos 2 sin 2 α α − = 2 1 cos 2 cos 2 α α + = 2 1 cos 2 tan 1 cos 2 α α α − = + 6. Biến đổi Tổng thành Tích: cos cos 2cos .cos 2 2 ab ab a b + − + = cos cos 2sin .sin 2 2 ab ab a b + − − =− sin sin 2sin .cos 2 2 ab ab a b + − + = sin sin 2cos .sin 2 2 ab ab a b + − − = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b + + = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b − − =
sin cos 2.sin 2.cos 4 4 π π αα α α   + = += −     sin cos 2 sin 2 cos 4 4 π π αα α α   − = − =− +     7. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b ab ab = ++ − [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b ab ab = −− + [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b ab ab = ++ − II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  2 sin sin ( ) 2 u vk u v k u vk  π π π  = + = ⇔ ∈   = −+  ( ) 2 cos cos 2 u vk u v k u vk  π π  = + = ⇔ ∈   =− + Nếu sin 1;1 u m= ∈−[ ] và 3 21 1; ; ; ;0 2 22 m     ∉± ± ± ±       thì: arcsin 2 sin arcsin 2 u mk u m u mk π π π  = + = ⇔   =− + ( ) k ∈ Nếu cos 1;1 u m= ∈−[ ] và 3 21 1; ; ; ;0 2 22 m     ∉± ± ± ±       thì: cosu m u mk = ⇔ =± + arccos 2π ( ) k ∈ Nếu sin 1;1 u m= ∉−[ ] thì: sin um u = ⇔ ∈∅ Nếu cos 1;1 u m= ∉−[ ] thì: cosum u = ⇔ ∈∅ Đặc biệt: sin 1 2 2 sin 1 2 2 sin 0 u uk uuk u uk π π π π π =⇔ = + =− ⇔ =− + =⇔= (k ∈) Đặc biệt: cos 1 2 cos 1 2 cos 0 2 u uk u uk u uk π π π π π =⇔ = =− ⇔ = + =⇔= + (k ∈)  tan tan u v u vk = ⇔ =+ π (k ∈)  cot cot u v u vk = ⇔ =+ π (k ∈) Nếu 3 tan 3; 1; ;0 3 u m     = ∉± ± ±       thì: tan u m u mk = ⇔= + arctan π (k ∈) Nếu 3 cot 3; 1; ;0 3 u m     = ∉± ± ±       thì: cot u m u arc m k = ⇔= + cot π (k ∈) Lưu ý: Điều kiện để hàm tan u có nghĩa là , 2 u kk  π ≠+ ∈ π . Tuy vậy, phương trình tan u m= luôn có nghiệm, vì vậy không cần đặt điều kiện. Lưu ý: Điều kiện để hàm cot u có nghĩa là uk k ≠ ∈ π ,  . Tuy vậy, phương trình cot u m= luôn có nghiệm, vì vậy không cần đặt điều kiện cho nó. Kỹ thuật 1: Làm mất dấu TRỪ sin sin( ) cos cos( ) tan tan( ) cot cot( )     α α α πα α α α α − =− −= − − =− − =− Ví dụ: sin sin 0 sin sin sin sin( ) 4 44 2 4 ( ). 8 2 (voâ nghieäm) 4 x x x xx x x xk x kk x xk                                                 Kỹ thuật 2: Biến đổi CHÉO
sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2     π α α π α α π α α π α α   = −       = −       = −       = −     Ví dụ: 2 6 3 ( ). 2 2 k x k x k  π π π π  = +  ⇔ ∈   = +  Phương trình a xb xc sin cos + = (với 22 2 abc + ≥ ) Phương trình 2 2 a xb x xc x d sin sin cos cos + += a xb x c sin cos + = 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin .cos cos .sin ab c x x ab ab ab c x x a b α α ⇔+ = ++ + ⇔+= + 2 2 2 sin 2 cos sin 2 sin 2 2 2 2 x xk xx x x x xk π π π π π π  = −+    = ⇔ = −⇔         =− − +       (với 2 2 2 2 cos , sin a b ab ab α α = = + + ) ⇔ += ⇔ sin( ) sin ......... x α β với 2 2 sin c a b β = +  Trường hợp 1: Xét 2 cos 0 sin 1 x x =⇒ = . Ta có hệ sau: 2 2 2 sin 1 sin 1 .............(1) sin x x a xd a d  =  =   ⇔ ⇔  =  =   Trường hợp 2: Xét cos 0 x ≠ , chia hai vế phương trình cho 2 cos x , ta có: 2 2 a xb xc d x tan tan (1 tan ) ......... + += + ⇔ (2)  Hợp nghiệm của (1), (2) ta có tập nghiệm của phương trình đã cho.  Lưu ý: Phương trình a xb x c sin cos + = chỉ có nghiệm khi và chỉ khi 222 abc + ≥ . [ III. TỔ HỢP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN Nếu phép đếm được chia ra nhiều trường hợp, ta sẽ cộng các kết quả lại. Nếu phép đếm được chia ra làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta sẽ nhân các kết quả của mỗi giai đoạn ấy. HOÁN VỊ TỔ HỢP CHỈNH HỢP  Sắp xếp (đổi chỗ) của n phần tử khác nhau, ta có số cách xếp là ! P n n = với n∈ .  n nn ! 1.2..... 1 = − ( ) .  Quy ước sốc: 0! 1. =  Chọn k phần tử từ n phần tử (không sắp xếp thứ tự), ta có số cách chọn là k Cn .  ( ) ! ! ! k n n C nkk = − với * , . 0 k n k n  ∈ ∈   ≤ ≤    Chọn k phần tử từ n phần tử (có sắp xếp thứ tự), ta được số cách chọn là k An .  ( ) ! ! k n n A n k = − với * , . 0 k n k n  ∈ ∈   ≤ ≤   Một số tính chất: k nk C C n n − = 1 1 1 kk k CC C nn n + + + = + ! k k A kC n n = XÁC  Công thức: ( ) ( ) ( ) n X P X n = Ω  Tính chất: 0 ()1 ≤ ≤ P X .
SUẤT Trong đó: n X( ): số phần tử của tập biến cố X; n( ): Ω số phần tử không gian mẫu; P X( ) là xác suất để biến cố X xảy ra với X ⊂ Ω . P P ( ) 0; ( ) 1 ∅= Ω= . PX PX ()1 () = − với X là biến cố đối của X .  Nếu A, B là hai biến cố xung khắc với nhau thì PA B PA PB ( ∪= + ) ( ) ( ) .  Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì P AB P A P B ( . . ) = ( ) ( ) . IV. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN Khai triển dạng liệt kê: (với * n∈ )  ( ) 0 1 1 2 22 1 1 ......... n n n n n n nn nn n n n a b C a C a b C a b C ab C b − − − − += + + + + + .  Đặc biệt: ( ) 0 1 22 1 1 1 ......... n n n nn nn n n n x C Cx Cx C x Cx − − + =+ + + + + (*).  Hệ quả 1: 012 1 ......... 2 n nn CCC C C n nn n n − +++ + + = (tức là thay x =1 vào (*)).  Hệ quả 2: Với n chẵn, chỉ cần thay x = −1 vào (*), ta có: 012 1 024 13 1 ......... 0 ...... ...... n n n n CCC C C CCC C CC C nnn n n n n n n nn n − − − + − − + =⇔ + + + = + + Khai triển tổng quát: (với * n∈ )  Khai triển: ( ) 0 n n k nk k n k a b Ca b − = + = ∑ . Số hạng tổng quát: 1 k nk k T Ca b k n − + =  Phân biệt hệ số và số hạng: ( 1) . k k nk k n HEÄ SOÁ SOÁ HAÏNG C abx      . Số hạng không chứa x ứng với α = 0. V. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa: Dãy số (un ) được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi n n 1 u ud + = + với * n∈ , d là hằng số. Cấp số cộng như trên có số hạng đầu 1 u , công sai d. 2. Số hạng tổng quát:  1 ( 1) n uu n d =+− với * n∈ . 3. Tính chất các số hạng:  1 1 2 kk k uu u − + + = với * k ∈ và k ≥ 2. 4. Tổng n số hạng đầu tiên:  1 1 2 ( ) ... . 2 n n n u un S uu u + = + ++ = 1. Định nghĩa: Dãy số (un ) được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi 1 . n n u uq + = với * n∈ , q là hằng số. Cấp số nhân như trên có số hạng đầu 1 u , công bội q . 2. Số hạng tổng quát:  1 1. n n u uq − = với * n∈ . 3. Tính chất các số hạng:  2 1 1 . kk k uu u − + = với k ∈ và k ≥ 2. 4. Tổng n số hạng đầu tiên:  1 1 2 (1 ) ... 1 n n n u q S uu u q − = + ++ = − với q ≠ 1. VI. GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ 1. Giới hạn dãy số 1.1. Dãy số có giới hạn 0: ▪ 1 lim 0 n = ▪ 1 lim 0 n = ▪ 3 1 lim 0 n = ▪ 1 lim 0 nα = ▪ lim 0 n q = với q <1. 1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn: Cho lim n u a = . Ta có: ▪ lim n u a = và 3 3 lim u a = ▪ lim n u a = với a ≥ 0.