Tiêu đề CHỦ ĐỀ 2. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG.doc ✅

CHỦ ĐỀ 2: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 1. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tỉ số, diện tích Phương pháp giải Dựa vào tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng, tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính chu vi, diện tích hay tỉ số chu vi, diện tích. Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB6cm,AC9cm,BC12cm và MNP có MN24cm,NP18cm,MP12cm . a) Chứng minh ABCMNP∼ . b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác trên. Phân tích đề bài Giả thiết cho các yếu tố về cạnh mà không cho về góc nên ta định hướng chứng minh hai tam giác này đồng dạng theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh. Giải chi tiết a) Ta có: ABACBC1 MPNPMN2 nên ABCPMN∼ (c.c.c). b) Do ABCPMN∼ nên 2 ABC MNP SAB1 SMP4       . Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB4cm,AC3cm . a) Chứng minh HAC~ABC . b) Tính độ dài CH. Giải chi tiết a) Xét HAC và ABC có:  BACAHC90;C chung nên HAC~ABC (g.g). b) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC ta dễ dàng tính được BC5cm . Do HAC~ABC nên CHACCH3 CH1,8cm CABC35 Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD (ABCD)∥ có  DABDBC và AD5cm,AB3cm,BC9cm a) Chứng minh DAB~CBD . b) Từ câu a, tính độ dài DB, DC. c) Tính diện tích hình thang ABCD, biết diện tích tam giác ABD bằng 5cm 2 Giải chi tiết a)  ABCDABDBDC∥ . Xét DAB và CBD có:  DABDBC;ABDBDC nên DAB~CBD (g.g). b) DAABDB53BD DAB~CBDBD5,4cm;CD9,72cm CBBDCD9BDCD . c) Kẻ DH vuông góc với AB tại H Theo giả thiết: ABD 110 S5DH.AB5DHcm 23 .
Từ đó: 2 ABCD 1110106 SDH(ABCD).(39,72)cm 2235 Ví dụ 4: Cho DEBC∥ , D là một điểm trên cạnh AB, E là một điểm trên cạnh AC sao cho DEBC∥ . Xác định vị trí của điểm D sao cho chu vi tam giác ADE bằng 2 5 chu vi tam giác ABC. Tính chu vi của hai tam giác đó, biết tổng 2 chu vi bằng 63cm. Giải chi tiết Do DEBC∥ nên dễ dàng chứng minh được ADE~ABC (g.g) với tỉ số đồng dạng AD k AB . Khi đó ADkAB,AEkAC và DEkBC nên ADEABCCVk.CV (1). Theo giả thiết chu vi tam giác ADE bằng 2 5 chu vi tam giác ABC suy ra 2 k 5 . Vậy 2 ADAB 5 . Từ (1) suy ra ABCADEABCADECVCVCVCV63 45 2k11k 1 5     ADEABCCV18cm,CV45cm Dạng 2: Chứng minh tam giác đồng dạng, chứng minh hệ thức đẳng thức sử dụng tam giác đồng dạng Phương pháp giải 1) Đối với bài toán chứng minh tam giác đồng dạng: - Xét xem hai tam giác cần chứng minh đồng dạng đã có cặp cạnh nào tỉ lệ chưa? Có góc nào bằng nhau chưa? - Từ đó, định hướng chứng minh chúng đồng dạng theo trường hợp nào? - Chứng minh các yếu tố còn thiếu để được đồng dạng theo trường hợp đã định hướng ở trên. Ví dụ: Cần chứng minh ABCA'B'C'∼ - Xem xét hai tam giác nhận thấy chúng đã có một cặp góc tương ứng bằng nhau: giả sử  AA' . - Từ đó, định hướng chứng minh theo trường hợp g.g hoặc trường hợp c.g.c - Nếu chứng minh theo trường hợp g.g ta cần chứng minh thêm một cặp góc bằng nhau  BB' hoặc  CC' - Nếu chứng minh theo trường hợp c.g.c ta cần chứng minh A'B'A'C' ABAC . - Sau đó, dựa vào giả thiết để chọn hướng chứng minh phù hợp. 2) Đối với bài toán chứng minh đẳng thức Sử dụng tam giác đồng dạng phù hợp để biến đổi từng vế của đẳng thức cần chứng minh. Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác của góc A cắt cạnh huyền BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt AC tại E. a) Chứng minh DECABC∼ b) Chứng minh DEDB Phân tích đề bài
Cần chứng minh gì? DEC~ABC Hai tam giác đã có gì?  C chung, hai góc vuông Ta sẽ chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp nào? Góc – góc Giải chi tiết Xét tam giác DEC và ABC có:  C chung;  CDEBAC90 nên DEC~ABC (g.g) Do DEC~ABC nên DECD ABAC (1) Mặt khác, AD là tia phân giác của  BAC nên theo tính chất đường phân giác ta có: CDBD ACAB (2) Từ (1), (2) suy ra DEBD ABAB hay DEBD Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB9cm,AC6cm . Điểm D nằm trên cạnh AB sao cho AD2cm . Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh AED~ABC Phân tích đề bài Nhận xét thấy trong bài toán này giả thiết đã biết các yếu tố về độ dài, hơn nữa hai tam giác ABC và AED có  A chung nên ta sẽ định hướng chứng minh theo trường hợp c.g.c Giải chi tiết Ta có: AE3,AD3,AC6,AB9 suy ra ADAE1 ACAB3 Xét AED và ABC có:  A chung, ADAE ACAB AED~ABC (c.g.c). Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH của tam giác. a) Chứng minh rằng: AHB~CAB . Từ đó suy ra 2ABHB.BC b) Kẻ HMAB và HNAC . Chứng minh AM.ABAN.AC c) Chứng minh AMN~ACB Giải chi tiết a) xét hai tam giác AHB và CAB có:  ABH chung,  BHA90,BAC90 AHB~CAB (g.g) Do AHB~CAB nên HBAB ABBC , từ đó suy ra 2 ABHB.BC b) Xét AHM và ABH có:  MAH chung;  AMHAHB90 AHM~AHB (g.g) 2AHAM AHAM.AB ABAH (1) Xét AHN và ABH có:  NAH chung;  ANHAHC90 AHN~ACH 2AHAN AHAN.AC ACAH (2) Từ (1), (2) suy ra: AM.ABAN.AC c) Ta có: AMAN AM.ABAN.AC ACAB Xét AMN và ABC có:  MAN chung; AMAN ACAB nên AMN~ACB (c.g.c) Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên AB, AC sao cho  DMEB a) Chứng minh rằng BDM~CME
b) Chứng minh rằng MDE~DBM c) Chứng minh rằng không đổi Phân tích đề bài Câu a) b) Cần chứng minh gì? BDM~CME MDE~DBM Hai tam giác đã có gì?  BC  BM Định hướng chứng minh theo trường hợp nào? Góc – góc Cạnh – góc – cạnh Cần chứng minh thêm gì?  DMBMEC hoặc  BDMEMC BDBM DMME Giải chi tiết a) Ta có:  DMCBBDM (góc ngoài tại đỉnh M của tam giác BDM) suy ra  BBDMDMEEMC Mặt khác,  BDME nên ta có  BDMEMC Xét BDM và CME có:  BDMEMC,BC Suy ra BDM~CME (g.g) b) Do BDM~CME (câu a) nên BDDMBDDMBDBM CMMEBMMEDMME Xét MDE và DBM có: BDBM BM; DMME nên MDE~DBM (c.g.c) c) Do BDM~CME (câu a) nên 2 BDBMBC BD.CECM.BM CMCE4 không đổi 2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho tam giác ABC có AB18cm,AC24cm,BC30cm . Gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường vuông góc với BC cắt AB, AC lần lượt ở D, E. a) Chứng minh rằng: ABC~MDC b) Tính độ dài các cạnh MDC Câu 2: Cho tứ giác ABCD có diện tích 36 cm 2 , trong đó diện tích ABC là 11 cm 2 . Qua điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD ở M, cắt CD ở N. Tính diện tích MND . Câu 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH (HBC) . Kẻ HDAB tại D, HEAC tại E. a) Chứng minh AHB~ADH,AHC~AEH b) Chứng minh AE.ACAD.AB Câu 4: Cho tam giác ABC, AD là tia phân giác của góc A; ABAC . Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho  ACIBDA . Chứng minh rằng a) ADB~ACI;ADB~CDI b) 2ADAB.ACBD.CD Câu 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. a) Chứng minh rằng AE.ACAF.AB b) Chứng minh rằng AFE~ACB c) Chứng minh rằng FHE~BHC d) Chứng minh rằng HA.HDHB.HEHC.HF e) Chứng minh rằng 2BCBH.BECH.CF Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho DMAB , trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BNAD . Chứng minh: a) CBN và CDM cân b) CBN~MDC Câu 7: Cho hình thoi ABCD có  A60 . Qua C kẻ đường thẳng d không cắt hình thoi nhưng cắt đường thẳng AB tại E và cắt đường thẳng AD tại F. a) Chứng minh BEC~AEF