Tiêu đề Bài 2.3_Cấp số nhân_Lời giải.pdf ✅

1 BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Cấp số nhân Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là:   * 1 . . n n u u q n    Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. 2. Số hạng tổng quát Định lí 1 Nếu một cấp số nhân un  có số hạng đầu 1 u và công bội q thì số hạng tổng quát n u của nó được xác định bởi công thức: 1 1 , 2 n n u u q n     3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân Định lí 2 Giả sử un  là một cấp số nhân có công bội q 1 . Đặt n n 1 2 S u u u    , khi đó 1 1  1 n n u q S q    Chú ý: Khi q 1 thì n 1 S n u   .. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Chứng mình một dãy số là cấp số nhân 1. Phƣơng pháp  Xác định một cấp số nhân là xác định số hạng đầu u1 và công bội q  Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 và q rồi giải hệ đó. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho dãy số n u xác định bởi 1 1 2 4 9, 1 n n u u u n . a) Chứng minh dãy số n v với 3 n n v u , n 1 là một cấp số nhân. b) Tìm công thức tổng quát của dãy số n u . Lời giải a) Ta có 3 n n v u , suy ra 1 1 3 4 9 3 n n n v u u . Do đó 1 4 9 3 4 3 4 3 3 n n n n n n v u u v u u . Vậy n v là cấp số nhân với số hạng đầu 1 1 v u 3 2 3 5 và công bội q 4 . b) Do n v là cấp số nhân với 1 5 4 v q nên số hạng tổng quát của 1 1 1 . 5.4 n n n v v q .

3 Ta có: 9 x y y . 9 x    Thay vào 4 4 9 x y x 3 3 x        4 5 5 5       x x x 3 . 3 3 3 9 3 3. 3    y Kết luận 3 3 3 x y      Dạng 2. Xác định các số hạng của cấp số nhân, tổng của cấp số nhân 1. Phƣơng pháp Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu 1 u , giải hệ phương trình này tìm được q và 1 u . Để xác định số hạng thứ k, ta sử dụng công thức: 1 1 . k k u u q   . Để tính tổng của n số hạng, ta sử dụng công thức: 1 1 . , 1 1 n n q S u q q     . Nếu q 1 thì 1 2 3 ... n u u u u     , do đó n 1 S nu  . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết: a) 1 5 2 6 51 102 u u u u        b) 1 2 3 456 135 40 u u u u u u          c) 2 3 6 43. u S      Lời giải a).         4 4 1 1 5 1 1 5 4 2 6 1 1 1 51 51 1 51 * 102 102 1 102 ** u u u u q u q u u u q u q u q q                           Lấy         4 1 4 1 ** 1 102 * 51 1 u q q u q     1 4 51 51 2 3. 1 17 q u q        Kết luận có công bội q  2 và số hạng đầu tiên 1 u  3. Kết luận: 1 u  3 và q  2 b) 2 1 2 3 1 1 1 345 456 1 1 1 135 135 40 . 40 u u u u u q u q u u u u q u q u q                            2 1 3 2 1 1 135 * 1 40 ** u q q u q q q             Lấy         3 2 1 2 1 ** 1 40 * 135 1 u q q q u q q       3 8 2 27 3     q q
4 1 2 135 1215 . 1 19 u q q      Kết luận có công bội 2 3 q  và số hạng đầu tiên 1 1215 19 u  . c) 2 1 1 2 3 1 2 3 1 1 1 6 6 6 43 43 43 u u q u q S u u u u u q u q                            1 2 1 6 * 1 43 ** u q u q q          . Lấy       1 2 1 * 6 ** 43 1 u q u q q       2     43 6 1 q q q 2     6 37 6 0 q q 1 6 6     q q Với 1 q u    6 1 . Với 1 1 36. 6 q u    Kết luận 1 6 1 q u      hoặc 1 1 6 36 q u        Ví dụ 2: Cho CSN un  có các số hạng thỏa: 1 5 2 6 51 102 u u u u        a). Tìm số hạng đầu và công bội của CSN. b). Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069? c). Số 12288 là số hạng thứ mấy? Lời giải a). Ta có 4 4 1 5 1 1 1 5 4 2 6 1 1 1 51 51 (1 ) 51 (*) 102 102 (1 ) 102 (**) u u u u q u q u u u q u q u q q                            Lấy 4 1 4 1 1 (**) 102 (1 ) 2 3 (*) (1 ) 51 u q q q u u q         . b). Có 1 1 1 2 3069 . 3069 3. 3069 2 1024 10 1 1 2 n n n n q S u n q              . Kết luận tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 3069. c).Có 1 1 1 12 1 12288 . 12288 3.2 12288 2 4096 2 k k k k u u q                 k k 1 12 13 . Kết luận số 12288 là số hạng thứ 13. Ví dụ 3: Cho cấp số nhân un  . Tìm 1 u và q, biết rằng: