Tiêu đề HH7 - CĐ17.2. SU DONG QUY CUA BA DUONG TRUNG TRUC DUONG CAO.pdf ✅

1 Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường cao trong tam giác để giải quyết các bài toán khác I. Phương pháp giải: Dựa vào định lí, tính chất về sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác. II. Bài toán. Bài 1. Cho ABC đều. a đường cao AM BN CP , , c t nhau t i O . Chứng minh rằng: a) OA OB OC   . b) O là tr ng t m của ABC c) AM BN CP   Lời giải: a) Vì ABC đều nên ABC cân ở cả 3 đinh nên ba đường cao AM BN CP , , đồng thời là ba đường trung trực, ba đường trung tuyến của tam giác. Vì AM BN CP , , là ba đường trung trực nên OA OB OC   (1) b) Vì AM BN CP , , là ba đường trung tuyến nên O là tr ng t m của ABC c) Vì O là tr ng t m của ABC suy ra 2 2 2 , , 3 3 3 OA AM OB BN OC CP    (2) Từ (1) (2) suy ra AM BN CP   Bài 2. Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nh n) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác c n. Lời giải Xét ABC có hai đường cao BE CF , và BE CF  Xét hai tam giác vuông CBF và CBE có: BC là c nh chung. BE CF  (giả thiết) M P N A B C O F E A B C
2 Suy ra    CBF CBE (c nh huyền - c nh góc vuông). Từ đó suy ra CBF BCE  . Hay ABC cân t i A. Bài 3. Chứng minh rằng một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều. Lời giải Xét tam giác ABC có hai đường cao AH BE CF , , và AH BE CF   Xét hai tam giác vuông CBF và CBE có BC là c nh chung. BE CF  (giả thiết) Suy ra    CBF CBE (c nh huyền – c nh góc vuông). Suy ra CBF BCE  (1) Xét hai tam giác vuông ABH va BAE có AB là c nh chung. AH BE  (giả thiết). Suy ra ABH BAE (c nh huyền – c nh góc vuông). Suy ra ABH BAE  (hai c nh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy ra CBF BCE   BAE Vậy ABC có ba góc bằng nhau nên ABC là tam giác đều. Bài 4. Cho ABC vuông t i A , kẻ đường cao AH và trung tuyến AM . Chứng minh trực tâm của ABC, MAB và MAC thẳng hàng. Lời giải Vì AH là đường cao của ABC nên trực tâm của ABC thuộc đường thẳng AH 1 Có: AH là đường cao của ABC H B A M C
3      AH BC AH BM AH CM , Xét ABM có AH BM   Trực tâm của ABM thuộc đường thẳng AH 2 Xét ACM có AH CM   Trực tâm của ACM thuộc đường thẳng AH 3 Từ 1 ; 2 ; 3       Trực tâm của    ABC ABM ACM ; ; thẳng hàng Bài 5. Cho tam giác ABC vuông t i A . Đường cao AH. Lấy I là trung điểm của AC. a) Chứng minh I là giao điểm của 3 đường trung trực AHC b) G i K và D lần lượt là trung điểm của AH và HC. Chứng minh KD AC / / . c) Chứng minh BK AD  . Lời giải a) Ta có HI là đường trung tuyến ứng với c nh huyền AC của tam giác vuông AHC nên IH  2 AC IA IC   . Do đó, I là giao điểm của ba đường trung trực của AHC. b) Do I là giao điểm của ba đường trung trực của AHC nên ID HC  , suy ra ID AH // . Tương tự ta có IK HC // . Từ đó ta chứng minh được    IHK IDC (c.g.c). Suy ra KH ID KI HD   , . Ta chứng minh được    KHD IDC (c.g.c). Suy ra KDH ICD  , do đó KD AC // . c) Do KD AC // nên KD AB  . Trong ABD , hai đường cao KD và AH c t nhau t i K nên K là trực tâm của tam giác. Do đó BK AD  . Bài 6. Cho tam ABC cân t i A, hai đường cao BD và CE c t nhau t i I D(  AC E AB , )  . Tia AI c t BC t i M. Chứng minh a) M là trung điểm của BC. b) Tam giác MED là tam giác cân. Lời giải
4 a) Hai đường cao BC và CE c t nhau t i I nên I là trực tâm của tam giác ABC. Do đó AI BC  . Hơn nữa, do tam giác ABC cân t i A nên đường cao AI cũng đồng thời là đường trung tuyến. Do đó, M là trung điềm của BC. b) Trong tam giác vuông BEC, do EM là đường trung tuyến ứng với c nh huyền BC nên 1 2 EM BC  . Tương tự, 1 . 2 DM BC  Do đó EM DM  , suy ra MED là tam giác cân t i M. Bài 7. Cho tam giác ABC cân t i A, đường trung tuyến AM và đường phân giác BD c t nhau t i K. G i E là giao điểm của CK và AB. Chứng minh BD CE  . Lời giải ABC cân t i A nên đường trung tuyến AM cũng đồng thời là đường phân giác. Hai đường phân giác AM và BD c t nhau t i K . Do đó, CK là đường phân giác thứ ba của tam giác ABC. ABC cân t i A nên B C . Mà 1 2 DBC B  ( BD là đường phân giác) 1 2 ECB C  ( CK là đường phân giác)   DBC ECB Xét hai tam giác BDC và ECB có DBC ECB  (chứng minh trên) BC : c nh chung EBC DCB  ( ABC cân t i A ) Suy ra    BDC ECB (g.c.g) Do đó, BD CE  (hai c nh tương ứng) Bài 8. Cho tam giác ABC. Hai đường cao AH BK , c t nhau t i I. a) Chứng minh rằng CI AB  . b) Khi ACH   50 , hãy tính các góc BIH HIK , .