Tiêu đề Chương 6_Bài 5_ _Phần 1_Lời giải_Toán 10_CD.pdf ✅

BÀI 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ A. KIẾN THÚC CƠ BẢN CẦN NẮM I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT 1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu Hoạt động 1. Đọc kĩ những nội dung sau: • Một trong những khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất là phép thử. Chẳng hạn, tung đồng xu hay gieo xúc xắc, ... là những ví dụ về phép thử. • Trong toán học phổ thông, ta chỉ xét những phép thử có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó và tập hợp này là tập hữu hạn. Chẳng hạn, khi tung một đồng xu, ta biết được mặt xuất hiện của đồng xu là sấp hoặc ngửa. Kết luận: Có những phép thử mà ta không thể đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Những phép thử như thế gọi là phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử). Hoạt động 2. Xét phép thử "Gieo một xúc xắc một lần", kết quả có thể xảy ra của phép thử là số chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc. Viết tập hợp Ω các kết quả có thể xảy ra của phép thử trên. Nhận xét • Tập hợp Ω các kết quả có thể xảy ra của phép thử trên là Ω 1;2;3;4;5;6 =   . • Tập hợp Ω gọi là không gian mẫu của phép thử. Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau: Tập hợp Ω các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Ví dụ 1. Một hộp có 3 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ từ trong hộp, ghi lại số của thẻ được rút ra và bỏ lại thẻ đó vào hộp. Xét phép thử “Rút ngẫu nhiên liên tiếp hai chiếc thẻ trong hộp”. Hãy cho biết không gian mẫu của phép thử đó. Giải Không gian mẫu của phép thử trên là tập hợp Ω { 1;1 ; 1;2 ; 1;3 ; 2;1 ; 2;2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; (2;3 ; 3;1 ) ( ) ; (3;2 ; 3;3 } ) ( ) , ở đó, chẳng hạn (1;2) là kết quả “Lần thứ nhất rút ra thẻ ghi số 1, lần thứ hai rút ra thẻ ghi số 2”. Ví dụ 2. Một hộp có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng; các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong hộp, ghi lại màu của quả bóng được lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai quả bóng trong hộp”. Hãy cho biết không gian mẫu của phép thử đó. Giải Không gian mẫu của phép thử trên là tập hợp Ω {XX;X = Đ;XV ; ĐĐ; ĐV; ĐX; VV; VX ; VĐ}, ở đó, chẳng hạn XĐ là kết quả “Lần thứ nhất lấy ra quả bóng xanh, lần thứ hai lấy ra quả bóng đỏ”. 2. Biến cố a) Định nghĩa HĐ 3. Xét phép thử T : “Tung một đồng xu hai lần liên tiếp”. Không gian mẫu của phép thử trên là tập hợp Ω SS; SN; NS; NN =  . a) Sự kiện “Kết quả của hai lần tung là giống nhau” tương ứng với tập con A nào của tập hợp Ω ? b) Phát biểu tập con B = SN; NS của không gian mẫu Ω dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện. Nhận xét
• Mỗi sự kiện liên quan đến phép thử T tương ứng với một (và chỉ một) tập con A của không gian mẫu Ω . • Ngược lại, mỗi tập con A của không gian mẫu Ω có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện liên quan đến phép thử T . Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau: Biến cố ngẫu nhiên (gọi tắt là biến cố) là một tập con của không gian mẫu. Chú ý: Vì sự kiện chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của một biến cố nên ta cũng gọi sự kiện là biến cố. Chẳng hạn: Sự kiện “Kết quả của hai lần tung là giống nhau” trong phép thử “Tung một đồng xu hai lần liên tiếp” là một biến cố. Ví dụ 3. Xét phép thử “Gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp”. a) Sự kiện “Tổng số chấm trong hai lần gieo chia hết cho 5” tương ứng với biến cố nào của phép thử trên? b) Phát biểu biến cố D = (1;5 ; 5;1 ; 2;4 ; 4;2 ; 3;3 ; 6;6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) của không gian mẫu (của phép thử trên) dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện. Giải a) Sự kiện “Tổng số chấm trong hai lần gieo chia hết cho 5” tương ứng với biến cố: C = (1;4 ; 4;1 ; 2;3 ; 3;2 ; 4;6 ; 6;4 ; 5;5 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) của phép thử trên. b) Tập con D bao gồm tất cả các phần tử của không gian mẫu có tính chất đặc trưng là tổng hai số trong mỗi cặp chia hết cho 6. Vậy biến cố D có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện “Tổng số chấm trong hai lần gieo chia hết cho 6”. (1). Xét phép thử "Gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp". a) Sự kiện “Số chấm trong lần gieo thứ hai là 6” tương ứng với biến cố nào của phép thử trên? b) Phát biểu biến cố E = (5;6 ; 6;5 ; 6;6 ) ( ) ( ) của không gian mẫu (trong phép thử trên) dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện. b) Biến cố không. Biến cố chắc chắn Xét phép thử T với không gian mẫu Ω . Mỗi biến cố là một tập con của tập hợp Ω . Vì thế, tập rỗng  cũng là một biến cố, gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập hợp Ω gọi là biến cố chắc chắn. Chẳng hạn, khi gieo một xúc xắc, biến cố “Mặt xuất hiện có 7 chấm” là biến cố không, còn biến cố "Mặt xuất hiện có số chấm không vượt quá 6" là biến cố chắc chắn. c) Biến cố đối Xét phép thử T với không gian mẫu là Ω . Giả sử A là một biến cố. Như vậy, A là tập con của tập hợp Ω . Ta xét tập con Ω A là phần bù của A trong Ω . Tập con  \ A xác định một biến cố, gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là A . Chẳng hạn, khi gieo ngẫu nhiên một xúc xắc một lần, biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số lẻ” là biến cố đối của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn”. Chú ý: Nếu biến cố A được mô tả dưới dạng mệnh đề toán học Q thì biến cố đối A được mô tả bằng mệnh đề phủ định của mệnh đề Q (tức là mệnh đề Q ). 3. Xác xuất của biến cố HOẠT ĐỘNG 4. Xét phép thử “Tung một đồng xu hai lần liên tiếp”. Không gian mẫu của phép thử trên là tập hợp  = SS;SN;NS;NN .
Tính xác suất của biến cố A = SS;NN. Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau: Xét phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả có thể xảy ra và khả năng xảy ra của từng kết quả là giống nhau. Gọi  là không gian mẫu của phép thử đó. Khi đó, với mỗi biến cố A , ta có: Xác suất của biến cố A , kí hiệu là P( A), bằng tỉ số ( ) ( ) n A n  , ở đó n A n ( ), () lần lượt là số phần tử của hai tập hợp A và  . Như vậy: ( ) ( ) ( ) P n A A n =  . Ví dụ 4: Một hộp có 5 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, 4, 5 ; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 chiếc thẻ từ trong hộp. a) Gọi  là không gian mẫu của trò chơi trên. Tính số phần tử của tập hợp  . b) Tính xác suất của biến cố E : “Tổng các số ghi trên hai thẻ là số lẻ”. Giải a) Mỗi phần tử của không gian mẫu là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử trong tập hợp 1; 2; 3; 4; 5 . Vì thế ( ) 2 5 5! 5 . 4 C 10. 2!.3! 2 n  = = = b) Biến cố E gồm các cách chọn ra hai chiếc thẻ ghi số là: 1 và 2 ; 1 và 4 ; 2 và 3 ; 2 và 5 ; 3 và 4 ; 4 và 5 . Vì thế n E( ) = 6 . Vậy xác suất của biến cố E là ( ) ( ) ( ) 6 3 P 10 5 n E A n = = =  . Ví dụ 5: Từ một hộp chứa 5 quả cầu trắng và 5 quả cầu đỏ; các quả cầu có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu. Tính xác suất lấy được hai quả cầu khác màu. Giải Mỗi lần lấy ra đồng thời hai quả cầu cho ta một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử. Do đó không gian mẫu gồm các tổ hợp chập 2 của 10 phần tử và ( ) 2 10 10! 10 . 9 C 45. 2!.8! 2 n  = = = = Xét biến cố G : “Hai quả cầu lấy ra khác màu”. Khi hai quả cầu lấy ra khác màu thì một quả lấy ra có màu trắng, quả còn lại có màu đỏ. Có 5 cách lấy ra một quả cầu màu trắng và cũng có 5 cách lấy ra một quả cầu màu đỏ. Theo quy tắc nhân, ta có n G( ) = = 5 . 5 25. Vậy xác suất của biến cố G là ( ) ( ) ( ) 25 5 P 45 9 n G G n = = =  . Ví dụ 6: Một đội văn nghệ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên phụ trách đội muốn chọn ra một đội tốp ca gồm ba bạn sao cho có cả bạn nam và bạn nữ cùng tham gia. a) Giáo viên phụ trách đội có bao nhiêu cách chọn một đội như vậy? b) Tính xác suất của biến cố H : “Ba bạn chọn ra có cả nam và nữ”.
Giải a) Khi ba bạn chọn ra có cả nam và nữ thì chỉ có hai khả năng: - Chọn ra một bạn nam và hai bạn nữ; - Chọn ra hai bạn nam và một bạn nữ. • Xét khả năng thứ nhất: Chọn ra một bạn nam và hai bạn nữ. Có 4 cách chọn ra một bạn nam. Mỗi lần chọn ra hai bạn nữ cho ta một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Do đó, số cách chọn ra hai bạn nữ là 2 5 5! 5 . 4 C 10. 2!.3! 2 = = Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn ra một bạn nam và hai bạn nữ là 4 . 10 40. = • Xét khả năng thứ hai: Chọn ra hai bạn nam và một bạn nữ. Có 5 cách chọn ra một bạn nữ. Mỗi lần chọn ra hai bạn nam cho ta một tổ hợp chập 2 của 4 phần tử. Do đó, số cách chọn ra hai bạn nam là 2 4 4! 4 . 3 C 6. 2!.2! 2 = = = Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn ra hai bạn nam và một bạn nữ là 5 . 6 30. = Theo quy tắc cộng, số cách chọn ra một đội tốp ca gồm ba bạn sao cho có cả bạn nam và bạn nữ cùng tham gia là 40 30 70 + = (cách). b) Mỗi lần chọn ra đồng thời ba học sinh cho ta một tổ hợp chập 3 của 9 phần tử. Do đó không gian mẫu gồm các tổ hợp chập 3 của 9 phần tử và ( ) 3 9 9! 9.8 7 C 84. 3!.6! 6 n   = = = = Theo câu a), ta có n H( ) = 70 . Vậy xác suất của biến cố H là ( ) ( ) ( ) 70 5 P . 84 6 n H H n = = =  II. TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT Kiến thức trọng tâm: Xét phép thử T với không gian mẫu là  . Khi đó, ta có các tính chất sau: • P 0;P 1 ( =  = ) ( ) ; • 0 P 1   ( A) với mỗi biến cố A ; • P 1 P ( A A ) = − ( ) với mỗi biến cố A . Chứng minh • Xác suất của biến cố không là ( ) ( ) ( ) ( ) 0 P 0 n n n   = = =   ; Xác suất của biến cố chắc chắn là ( ) ( ) ( ) P 1 n n   = =  . • ( ) ( ) ( ) Do P n A A n =  và 0    n A n ( ) ( ) nên 0 P 1   ( A) với mỗi biến cố A . • Do n A n n A ( =  − \ ) ( ) ( ) nên xác suất của biến cố A là: