Tiêu đề Đề số 15.docx ✅

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 15 Câu 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức: 2 2 11412025 K 111 xxxxx xxxx     a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức K b, Tìm x để biểu thức 2 2024K A xx đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2: (3,0 điểm) a, Tìm số nguyên n thỏa mãn 200420031 chia hết cho 32024nn b, Cho đa thức 20242()1Pxxx Gọi m và n lần lượt là tổng các hệ số của lũy thừa bậc chẵn và bậc lẻ của x sau khi khai triển và thu gọn đa thức P(x)..Hãy xét xem m, n chẵn hay lẻ? Vì sao? Câu 3: (3,5 điểm) a, Tìm x biết: 2242131xxxx b, Tìm các cặp số nguyên không âm x, y thoả mãn: 4422(1)(1)yyxx c, Cho các số thực x, y, z ≥ −1 thỏa mãn: 333222xyzxyz . Chứng minh 555222xyzxyz Câu 4: (3,0 điểm) 1, Người ta đặt một vòi chảy vào từ trên xuống và một vòi tháo nước ra tại lưng chừng của một bể nước. Khi bể không chứa nước nếu mở cả 2 vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước, còn nếu đóng vòi chảy ra và chỉ mở vòi chảy vào thì sau 1 giờ 30 phút bể đầy nước. Biết trong cùng một thời gian vòi chảy vào chảy được lượng nước nhiều gấp hai lần lượng nước của vòi chảy ra. Hỏi khi bể không có nước nếu mở cả hai vòi thì sau thời gian bao lâu mực trong bể nước ngang đến chỗ lắp vòi chảy ra. 2, Trong một hộp kin có 5 tấm thẻ (có kích thước và hình dạng giống nhau) được đánh số -1; 0; 1; 2; 3 a, Chọn ngẫu nhiên 1 tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất tấm thẻ được chọn đánh số chia hết cho 2 b, Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để tích của 2 số đánh trên 2 tấm thẻ được chọn là số âm.
Câu 5: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AC > AB), các đường cao AD, BE, CF, trực tâm H. Điểm I nằm giữa B và C sao cho IB = 2IC. Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với Al. Gọi Q là giao điểm của đường thẳng d và CH, G là điểm trên tia CH sao cho Q là trung điểm của GH. Gọi J là giao điểm của AG và BH. a. Chứng minh  QAH đồng dạng với  AIB b. Gọi K là trung điểm của BI. Chứng minh  AHG đồng dạng với  KBA và AG = 2AJ c. Giả sử AABC cân tại C. Gọi N là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC. Chứng minh rằng: 2 CE.CN - FE.FN CF Câu 6: ( 1,0 điểm) Giả sử các điểm trên mặt phẳng được tô bởi 2 màu đỏ hoặc xanh. Chứng tỏ rằng luôn tìm được tam giác có 3 đỉnh và trọng tâm cùng màu. ĐÁP ÁN Câu 1: a) ĐKXĐ: 2 1 1 1 10 0 0 x x x x x x              2222 22 11412025(1)(1)412025 1111 xxxxxxxxxx xxxxxx     222 2 2121412025 1 xxxxxxx xx     2025x x   b) 222 2024111Kx A xxxxx   2 2 111111 244xxx     Dấu “=” xảy ra khi x = -2 (TMĐKXĐ)
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 4 tại x = -2. Câu 2: a) Đặt 2024320231;2024ABnn Giả sử tồn tại nZ để (1)AB⋮ 33 20242025(1)(1)2025Bnnnnnnnnn Vì n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên (1)(1)3nnn⋮ Mà 20253n⋮ (do 20253⋮ ) (1)(1)2025:3(2)Bnnnn Từ (1) và (2) suy ra 3A⋮ (*) Lại có 20231(mod3) 20242024 2024 202311(mod3) 202312(mod3)A   3A⋮ (trái với (*) mâu thuẫn) nên giả sử là sai Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài. b) Ta có: 202422024(1)1113Pmn 20242(1)11(1)1Pmn Do đó: 2024 202431 231 2mm  Lại có: 2024202420243(1)(mod4)31(mod4) 2024 202431 341()21 2kkNmk  Suy ra m lẻ Mà n = m – 1 nên n chẵn Câu 3: a) 2242131xxxx 22221311xxxxxx 222113330xxxxxx
2212420xxxx 2221210xxxx 221(1)0xxx Mà 21xx > 0 nên x = 1 b) 4422(1)(1)yyxx   4322 4322 2 222 2 22 24641221 232 2 11 yyyyxx yyyyxx yyyyxx yyxx     Ta có với mọi số nguyên không âm: 222121xxxxx Suy ra: 22222121(1)xyyxxx Nên 2221(1)yyx Hay 221(1)xxx suy ra (x, y) = (0, 0) Từ 2331210(2)(1)032032xxxxxxxx 5232 (32)32xxxxx Tương tự, 52325232(32)32;(32)32yyyyyzzzzz Vậy, 55533322222233322232 vì xyzxyzxyzxyzxyzxyz Câu 4: 1. Đổi 2 giờ 42 phút = 2,7 giờ Gọi thời gian vòi chảy vào chảy được lượng nước từ khi bể không chứa nước đến lúc nước trong bể ngang chỗ đặt vòi chảy ra là x (giờ). ĐK: 0 < x < 1,5 Trong 1 giờ, vòi chảy vào chảy được lượng nước vào bể là 2 1:1,5 3 (bể), vòi chảy ra tháo ra khỏi bể một lượng nước là: 21 :2 33 (bể) Khi lượng nước ngang vòi chảy ra nếu mở cả 2 vòi thì 1 giờ lượng nước trong bể có thêm là 211 333 (bể)