Tiêu đề Chuyên đề 17. HỆ THỨC VI-ÉT.doc ✅

Chuyên đề 17. HỆ THỨC VI-ÉT A. Kiến thức cần nhớ 1. Hệ thức Vi-ét  Nếu 12;xx là hai nghiệm của phương trình 200axbxca thì: 12 12. b xx a c xx a          Nếu phương trình 200axbxca có 0abc thì phương trình có một nghiệm là 11x , còn nghiệm kia là 2 c x a  Nếu phương trình 200axbxca có 0abc thì phương trình có một nghiệm là 11x , còn nghiệm kia là 2 c x a 2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng  Nếu hai số đó có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình 2 0xSxP Điều kiện để có hai số đó là: 2400SP B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho phương trình 22230mxmxm ( x là ẩn số). a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. (Thi học sinh giỏi Toán 9, TP Hồ Chí Minh năm học 2011 – 2012) Giải Tìm cách giải. Những bài toán liên quan đến dấu của nghiệm phương trình bậc hai bao giờ cũng liên quan đến công thức nghiệm và hệ thức Vi-ét. Cụ thể là:  Phương trình có hai nghiệm trái dấu gồm: Phương trình có nghiệm ( 0 ) và 1200c xx a thì điều kiện nghiệm chung là: 0ac  Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương gồm: Phương trình có hai nghiệm trái dấu ( 0ac ) và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương ( 120xx ) Trình bày lời giải a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu 03003acmmm b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có gái trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương  12 03 0 2322 00 m ac mm xx m       . Vậy với 23m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương. Ví dụ 2: Cho phương trình: 22110xmxm ( m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuong có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là 4 5 (đơn vị độ dài). Giải Tìm cách giải. Bản chất của bài toán gồm 2 bước:
 Bước 1. Phương trình có hai nghiệm 12;xx dương 12 12 0 0 0 xx xx        Bước 2. Hai nghiệm 12;xx là số đo 2 cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là 4 5 (đơn vị độ dài) thì thỏa mãn: 222 12 111 xxh Trình bày lời giải Xét 22214.2.1218830mmmmmm Phương trình luôn có hai nghiệm Để hai nghiệm là số đo hai cạnh của tam giác  phương trình có hai nghiệm dương  12 12 1 0 0 2 1 01 0 2 m xx m xxm         . Hai nghiệm là số đo 2 cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là 4 5 (đơn vị độ dài)   22 1212 22222 1212 214411252525 1616161 xxxxmm xxxxm    2 918550mm . Giải ra, ta được: 12 115 ; 33mm . Kết hợp điều kiện, ta được 1 11 3m thỏa mãn Ví dụ 3: Cho phương trình 230xmxm ( m là tham số khác 0) có hai nghiệm phân biệt 12;xx . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 22 12 22 21 33 33 xmxmm A xmxmm    (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hưng Yên, năm học 2011 -2012) Giải Phương trình có hai nghiệm phâm biệt khi 2940mm hay 940mm 0m hoặc 4 9m (*) Theo Vi-ét: 12 12 3xxm xxm     Ta có:  2222 22222 212121121212 12 0 3332 mmmm xmxmxxxxxxxxxxxx  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương:  2212 22 12 2xxm A mxx    Vậy    2 2 412 4 min1222 12 2xxm Amxx mxx   
222222221212121212124mxxxxxxxxxxxx 2212124949xxxxmmmm   2 0L 8404210 1 2 m mmmm m       Vậy với 1 2m thì 2A Ví dụ 4: Cho phương trình 260xxm (với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm 1x và 2x thỏa mãn: 22 1212xx (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tình Phú Thọ năm học 2012 – 2013) Giải 36404369mmm * Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 12 12 6xx xxm     * Ta có: 2212121212122xxxxxxxx Suy ra: 124;2xx Từ đó suy ra: 4.28m (thỏa mãn điều kiện) Vậy với 8m thì phương trình có hai nghiệm 1x và 2x thỏa mãn 22 1212xx Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình 43480xxxm có đúng 4 nghiệm phân biệt. (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Thanh Hóa năm học 2012 – 2013) Giải Cách 1. Ta có 43480xxxm (1) 4216150xxm Đặt 21,0yxy phương trình có dạng: 2 650yym (2) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt  Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt 9500 40 06054 5 050 m m Sm m Pm        Cách 2. Ta có 43480xxxm (1) 2222420xxxxm Đặt 22yxx phương trình có dạng: 240yym (3) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt  phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 121212 1212 040 11010 2 1 2 m xxxxxx xxxx           4 4 41054 5 42 m m mm m        Ví dụ 6: Chứng minh rằng nếu a và b là hai nghiệm của phương trình 210xpx (1), còn c và d là hai nghiệm của phương trình 210xqx (2) thì ta có hệ thức: 22acbcadbdqp .
Giải Theo hệ thức Vi-et ta có: ; 11 abpcdq abcd     Xét 22acbcadbdabacbccabadbdd 2211pccpdd 2222222 1pddpcpcdpcdcpcdcd 222 11pddpcppdcpc 22222222cdpcdpqp . Suy ra 22acbcadbdqp Điều phải chứng minh. Nhận xét. Nếu chọn p và q là hai số nguyên sao cho 22qp là số chính phương thì ta có kết quả: acbcadbd là số chính phương. Chẳng hạn: cho số nguyên m , chứng minh rằng nếu a và b là hai nghiệm của phương trình 21510xmx (1), còn c và d là hai nghiệm của phương trình 2 1710xmx thì ta có acbcadbd là số chính phương. Ví dụ 7: Cho phương trình 20xpxq (1). Hãy tìm các giá trị nguyên của p và q sao cho phương trình (1) có nghiệm nguyên phân biệt và nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia (Thi học sinh giỏi Toàn 9, tỉnh Yên Bái, năm học 2003 – 2004) Giải Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt và 214xx Ta có: 2 1 121 22 121 40 55 44 25; pq p x xxxp pxxxq q pq            ¢ Suy ra 22225255ppkkpkM¢ Do đó 2 24.25 4 25 k qk Vậy 22;5;4;5;4pqkkkk với k¢ thì phương trình (1) có hai nghiệm nguyên ohana biệt và một nghiệm gấp 4 lần nghiệm kia Ví dụ 8: Gọi 12;xx là hai nghiệm của phương trình bậc hai 20axbxc . Đặt 12nn nSxx với n nguyên dương a) Chứng mỉnh rằng: 210nnnaSbScS b) Không khai triển, không dùng máy tính, hãy tính giá trị biểu thức: 55 11 1313 A  . Giải a) 1x là nghiệm của phương trình nên 2 110axbxc ; 2x là nghiệm của phương trình nên 2 220;axbxc Suy ra: 21 1110nnnaxbxcx (1), 21 2220nnnaxbxcx (2). Từ (1) và (2) cộng vế với vế, ta được: 22111212120nnnnnnaxxbxxcxx Từ đó suy ra: 210nnnaSbScS . b) Đặt: 121213;13;nn nxxSxx .