Tiêu đề Chương 8_Bài 29_ _Lời giải_Toán 11_KNTT.pdf ✅

BÀI 29: CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT CHO HAI BIẾN CỐ XUNG KHẮC a) Biến cố xung khắc HĐ1: Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau: A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 3"; B : “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 4". Hai biến cố A và B có đồng thời xảy ra hay không? Vì sao? Lời giải Do các số chia hết cho 3 và chia hết cho 4 không có số nào chung, vì vậy hai biến cố A và B không đồng thời xảy ra. Nếu một số có chia hết cho cả 3 và 4 thì nó phải là số chia hết cho bội số của 3 và 4, tức là số chia hết cho 12. Tuy nhiên, không có số nào chia hết cho cả 3 và 4 trên con xúc xắc đồng chất. Do đó, ta có thể kết luận rằng hai biến cố A và B không đồng thời xảy ra. Biến cố A và biến cố B được gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra. Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi A B Ç = Æ . Ví dụ 1. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau: A: "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 7 "; B : "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4"; C : "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số nguyên tố". Trong các cặp biến cố A và B A; và C B; và C , cặp biến cố nào xung khắc? Tại sao? Lời giải Cặp biến cố A và B là xung khắc vì A và B không đồng thời xảy ra. Cặp biến cố A và C không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 thì cả A và C xảy ra. Cặp biến cố B và C không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 3 thì cả B và C xảy ra. Luyện tập 1. Một tổ học sinh có 8 bạn, trong đó có 6 bạn thích môn Bóng đá, 4 bạn thích môn Cầu lông và 2 bạn thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau: E : "Học sinh được chọn thích môn Bóng đá"; F : "Học sinh được chọn thích môn Cầu lông". Hai biến cố E và F có xung khắc không? Lời giải           6 3 4 1 6 4 3 , P , P . . 0,375 8 4 8 2 8 8 8 P E F E F P E P F = = = = Ç = = = = Trong trường hợp này, xác suất của biến cố E và F là khác không, nên hai biến cố E và F được gọi là có xung khắc (hay không độc lập) với nhau.
b) Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc HĐ2. Trở lại tình huống trong HĐ1. Hãy tính P A P B  ,   và P A B  È . Lời giải       2 1 1 2 1 1 1 , , 6 3 6 6 6 6 2 P A P B P A B = = = È = + - = Với hai biến cố xung khắc, ta có công thức tính xác suất của biến cố hợp như sau: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P A B P A P B  È = +     . Ví dụ 2. Một hộp đựng 9 tấm thẻ cùng loại được ghi số từ 1 đến 9 . Rút ngẫu nhiên đồng thời hai tấm thẻ từ trong hộp. Xét các biến cố sau: A : "Cả hai tấm thẻ đều ghi số chẵn"; B : "Chỉ có một tấm thẻ ghi số chẵn"; C : "Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn". a) Chứng minh rằng C A B = È . b) Tính P C  . Lời giải a) Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất một tấm thẻ ghi số chẵn. Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra. Nếu chỉ có một tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra. Vậy C là biến cố hợp của A và B . b) Hai biến cố A và B là xung khắc. Do đó P C P A B P A P B   = È = +       . Ta cần tính P A  và P B . Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả các tập con có hai phần tử của tập 1;2; ;9 1⁄4  . Do đó   2 Ω C 36 9 n = = .  Tính P A  : Biến cố A là tập hợp tất cả các tập con có hai phần tử của tập 2;4;6;8. Do đó   2 C 6 4 n A = = . Suy ra       6 Ω 36 n A P A n = = .  Tính P B  : Mỗi phần tử của B được hình thành từ hai công đoạn: Công đoạn 1: Chọn một số chẵn từ tập 2;4;6;8. Có 4 cách chọn. Công đoạn 2: Chọn một số lẻ từ tập 1;3;5;7;9 . Có 5 cách chọn. Theo quy tắc nhân, tập B có 4 5 20 × = (phần tử). Do đó n B  = 20 . Suy ra       20 Ω 36 n B P B n = = . Vậy       6 20 26 13 36 36 36 18 P C P A P B = + = + = = . Luyện tập 2. Một hộp đựng 5 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu đỏ, có củng kích thước và khối lượng. Chọn ngẫu nhiên hai quả cầu trong hộp. Tính xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu. Lời giải Số cách chọn 2 quả cầu từ hộp mà không xếp theo thứ tự là:   8! 5, 2 28 2!3! C = =
Số cách chọn 2 quả cầu có cùng màu là số cách chọn 2 quả cầu trong số 5 quả cầu màu xanh và số cách chọn 2 quả cầu trong số 3 quả cầu màu đỏ, rồi cộng lại:     5! 3! 5, 2 3, 2 10 3 13 2!3! 2!1! C C+ = + = + = Vậy xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu là: 5, 2 3,2 13 8, 2 28 ( ) ( ) ( ) C C P C + = = 2. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT HĐ3. Ở một trường trung học phổ thông X , có 19% học sinh học khá môn Ngữ văn, 32% học sinh học khá môn Toán, 7% học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường X . Xét hai biến cố sau: A:"Học sinh đó học khá môn Ngữ văn"; B : "Học sinh đó học khá môn Toán". a) Hoàn thành các mệnh đề sau bằng cách tìm cụm từ thích hợp thay cho dấu "?". P A  là tỉ lệ ...(?).. P AB   là ...(?)... P B  là ...(?)... P A B  È  là ...?1⁄4 b) Tại sao để tính P A B  È  ta không áp dụng được công thức P A B P A P B  È = +      ? Lời giải a) P A( ) là tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn trong tổng số học sinh của trường X , vậy P A( ) = 0,19. P B( ) là tỉ lệ học sinh học khá môn Toán trong tổng số học sinh của trường X , vậy P B( ) = 0,32. P AB ( ) là tỉ lệ học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán trong tổng số học sinh của trường X , vậy P AB ( ) = 0,07. P A B ( ) È là tỉ lệ học sinh học khá ít nhất một trong hai môn Ngữ văn và Toán trong tổng số học sinh của trường X . Để tính được P A B ( ) È ta có thể áp dụng công thức sau: P A B P A P B P AB ( ) ( ) ( ) ( ) È = + - = + - = 40,19 0,32 0,07 0, 4 b) Ta không thể áp dụng công thức P A B P A P B ( ) ( ) ( ) È = + vì hai biến cố Avà B không độc lập với nhau, tức là việc xảy ra của một biến cố ảnh hưởng đến xác suất của biến cố còn lại. Cụ thể ở đây, học sinh học khá môn Ngữ văn có thể cũng đang học khá môn Toán, do đó nếu ta tính P A P B ( ) ( ) + thì sẽ đếm những học sinh này hai lần, dẫn đến sai sót trong tính toán. Cho hai biến cố A và B . Khi đó, ta có: P A B P A P B P AB  È = + -       . Công thức này được gọi là công thức cộng xác suất. ? Tại sao công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc là hệ quả của công thức cộng xác suất? Ví dụ 3. Trở lại tình huống trong HĐ3. Hãy tính tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán của trường X . Lời giải Theo đề bài, ta có: P A P B P AB   = = = = = = 19% 0,19; 32% 0,32 và 7% 0,07.     Theo công thức cộng xác suất, ta có: P A B P A P B P AB  È = + - = + - =        0,19 0,32 0,07 0, 44 Do đó, xác suất để chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường X học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán là 0,44 . Vậy tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán của trường X là 44% .
Luyện tập 3. Phỏng vấn 30 học sinh lớp 11 A về môn thể thao yêu thích thu được kết quả có 19 bạn thích môn Bóng đá, 17 bạn thích môn Bóng bàn và 15 bạn thích cả hai môn đó. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 11A. Tính xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn. Lời giải Ta có: 0 ( 3 ) 19 P A = xác suất để chọn được học sinh thích môn Bóng đá. 17 ) 30 P B( = xác suất để chọn được học sinh thích môn Bóng . ( 5 30 ) 1 P A B Ç = xác suất để chọn được học sinh thích cả hai môn. Vậy xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn là: 19 17 15 7 30 30 30 10 P A B ( ) È = + - = Vận dụng. Giải quyết bài toán trong tình huống mở đầu. Gợi ý. Chọn ngẫu nhiên một người dân trên 50 tuổi của tỉnh X . Gọi A là biến cố "Người đó mắc bệnh tim"; B là biến cố "Người đó mắc bệnh huyết áp"; E là biến cố "Người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp". Khi đó E là biến cố "Người đó mắc bệnh tim hoặc mắc bệnh huyết áp". Ta có E A B = È . Áp dụng công thức cộng xác suất và công thức xác suất của biến cố đối để tính P E( ) . Lời giải P A( ) = 0,082 là xác suất một người trên 50 tuổi của tỉnh X mắc bệnh tim. P B( ) = 0,125 là xác suất một người trên 50 tuổi của tỉnh X mắc bệnh huyết áp. P A B ( Ç =) 0,057 là xác suất một người trên 50 tuổi của tỉnh X mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp. Áp dụng công thức cộng xác suất, ta có: P E P A B P A P B P A B ( ) ( ) ( ) = È = + - Ç + - = ( ) ( ) = 0,082 0,125 0,0 75 ,1 0 5 Vậy tỉ lệ dân cư trên 50 tuổi của tỉnh X không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp là 15%. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Quy tắc cộng cho 2 biến cô xung khắc 1. Phương pháp Cho hai biến cố xung khắc A và B . Khi đó: P A B P A P B  È = +     . 2. Ví dụ Ví dụ 1: Một lớp học 40 học sinh gồm có 15 học sinh nam giỏi toán và 8 học sinh nữ giỏi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh.Hãy tính xác suất để chọn được một nam sinh giỏi toán hay một nữ sinh giỏi lý Lời giải Gọi A là biến cố chọn một nam sinh giỏi toán và B là biến cố chọn một nữ sinh giỏi lý thì A B È là biến cố chọn một nam sinh giỏi toán hay một nữ sinh giỏi lý. Ta có 15 3 P(A) 40 8 = = và 8 1 P(B) 40 5 = = A và B là hai biến cố xung khắc nên 3 1 23 ( ) ( ) ( ) 8 5 40 P A B P A P B È = + = + =