Tiêu đề Chuyên đề 12. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY.doc ✅

CHƯƠNG III: Góc và đường tròn Chuyên đề 12. GÓC Ở TÂM. SỐ ĐO CUNG. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY A. Kiến thức cần nhớ 1. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn. Ví dụ: AOB là góc ở tâm.  Nếu 0180 thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ và cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.  Nếu 180 thì mỗi cung là một nửa đường tròn.  Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn 2. Số đo cung  Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.  Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).  Số đo của nửa đường tròn bằng 180 . Chú ý: “Cung không” có số đo bằng 0 và cung cả đường tròn có số đo bằng 360 . 3. So sánh hai cung Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:  Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.  Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. 4. Khi nào thì sđ AB = sđ AC + sđ CB ? Nếu điểm C là một điểm nằm trên cung AB thì: sđ AB = sđ AC + sđ CB 5. Định lý 1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. Trong hình bên: .ABCDABCD 6. Định lý 2 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. Trong hình bên: .ABCDABCD 7. Định lý bổ sung  Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.  Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì qua trung điểm của dây căng ấy (đảo lại không đúng).  Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại P. Biết 55APB . Tính số đo cung lớn AB. Giải  Tìm cách giải. Bạn nên tính góc ở tâm trước, rồi tính số đo cung nhỏ AB. Cuối cùng tính số đo cung lớn.  Trình bày lời giải Tứ giác APBO có: 90;90OAPOBP (vì PA, PB là tiếp tuyến), 55APB nên: 360909055125AOB Suy ra số đo cung nhỏ AB là 125 Vậy số đo cung lớn AB là: 360125235 .
Ví dụ 2. Cho dây 2ABR của đường tròn ;OR . Trên AB lấy điểm M, N sao cho AMMNNB . Tia OM, ON cắt cung nhỏ AB tại C, D. a) Chứng minh cung AC bằng cung BD. b) So sánh cung AC và cung CD. Giải Tìm cách giải. Câu a. Để chứng tỏ hai cung bằng nhau, ta chứng tỏ hai góc ở tâm bằng nhau. Do vậy cần chứng minh hai tam giác bằng nhau. Câu b. Để so sánh hai cung AC và CD, ta so sánh hai góc AOM và MON . Với nhận xét ONOA và MNMA , ta có thể nghĩ tới: Vì hai góc AOM và MON là hai góc kề mà OAON nên dựng thêm điểm phụ K để tạo ra một góc mới  MKNAOM ; MKN và MON là hai góc của ONK từ đó sẽ so sánh được góc. Trình bày lời giải a) ;;OAOBAMBNDAMOBN nên AOMBON suy ra AOMBON hay ACBD . b) Trên tia đối của tia MO lấy điểm K sao cho: MK = MO Mà ;MAMNAMONMK ..AMONMKcgc  ;AOMMKNOAKN Xét ONK có KNON (vì OAON ) nên  MKNMONMOAMON  ACCD . Ví dụ 3. Trên đường tròn ;OR lấy hai điểm A, B sao cho 2ABR . Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Tính độ dài AM. Giải Tìm cách giải. Ta lưu ý rằng: bài toán có 2ABR thì 90AOB và ngược lại. Hình vẽ có nhiều góc vuông, những bài tập tính toán độ dài nên vận dụng định lý Py – ta – go để tính các đoạn thẳng có thể. Từ đó ta có lời giải sau: Trình bày lời giải Xét OAB có 222222OAOBRRR 22222 2ABROAOBAB , vậy OAB vuông tại O. Gọi giao điểm OM và AB là H, ta có: ,OHABHAHB 2 2 R HAHBHO 222 . 22 RRR HMR  Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác AHM, ta có: 22222222222. 22 RRR AMRAMR    Ví dụ 4. Từ điểm A trên đường tròn ;1O đặt liên tiếp các cung có dây là 1;3;2ABBCCD . Chứng minh: a) AC là đường kính của đường tròn (O). b) DAC vuông cân. Giải Tìm cách giải. Để chứng tỏ AC là đường kính ta cần chứng tỏ:
sđ AB + sđ BC = 180 . Trình bày lời giải a) 1AB nên OAOBAB nên OAB là tam giác đều  60AOB sđ 60AB  3120BCBOC sđ 120BC  sđ AB + sđ BC = 180  AC là đường kính của đường tròn (O). b) 2CD sđ 90CD sđ 90AD  sđ CD sđ ADCDAD Mà AC là đường kính ACD vuông cân tại D. C. Bài tập vận dụng 12.1. Trên đường tròn (O) có cung AB bằng 140 . Gọi ,AB lần lượt là điểm đối xứng của A, B qua O; lấy cung AD nhận B làm điểm chính giữa; lấy cung CB nhận A làm điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ  CD . 12.2. Cho hai đường tròn bằng nhau ,OO cắt nhau tại A, B. Kẻ các đường kính AOC và AOD . Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AC với O . a) Sao sánh các cung nhỏ ,.CBBD b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa cung EBD . 12.3. Cho đường tròn ,OR với hai điểm A, B. Chứng tỏ trung điểm của các dây trên đường tròn có độ dài bằng dây AB thuộc một đường tròn cố dịnh. 12.4. Cho đường tròn (O), dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cung AB . Vẽ dây MC cắt dây AB tại D. Vẽ đường vuông góc với AB tại D, cắt OC tại K. Hỏi KCD là tam giác gì? 12.5. Gọi M, N, P, Q là bốn điểm nằm trên đường tròn (O). Các tiếp tuyến ở bốn điểm trên cắt nhau tạo thành tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: 180AOBCOD 12.6. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) có AC = 40cm. BC = 48cm. Tính khoảng cách từ O đến BC. 12.7. Cho hình bên, biết AB = CD. Chứng minh rằng: a) MH = MK. b) MB = MD. c) Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang cân. 12.8. Cho đường tròn ;OR và dây AB. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa các cung nhỏ AB, cung lớn AB và P là trung điểm của dây cung AB. a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng. b) Xác định số đo của cung nhỏ AB để tứ giác AMBO là hình thoi. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 12.1.  ®140®40sABsAB  ®40®80sACsCB  ®140®40sABsAB  ®40sBD  ®180®®sCDsBCsBD
180408060 12.2. a) AC, AD là đường kính nên  90;90ABCABD Mà AC = AD, AB chung nên:  ABCABDBCBDBCBD b) BCE vuông tại E có BC = BD nên BE là đường trung tuyến  BEBDBEBD . 12.3. Gọi CD là dây cung thuộc (O) sao cho CD = AB. Kẻ ,OHABOICD thì OI = OH không đổi nên I thuộc đường tròn tâm (O) bán kính OH không đổi. 12.4.  MAMBOMAB (định lí bổ sung)  //OMDKOMCKDC Mặt khác OMC cân (OM = OC) nên:  OMCKDC Suy ra KCDKDCKCD cân tại K. 12.5. AM, AN là tiếp tuyến nên:  11 ® 22BOMMONsMN Tương tự, ta có:  11 ® 22AOMMOQsMQ  11 ®;®. 22COPsNPDOPsPQ Ta có: AOBCODAONNOBCOQDOQ  1®®®® 2sMNsNPsPQsMQ 1 .360180 2 12.6. Kẻ đường cao AH. Ta tính được AH = 32cm. Đặt OHx . Kẻ OMAC Ta có: .AMOAHCgg∽ 3220 . 4032 AOAMx ACAH   12.7. a) ABCDOHOK OMH và OMK có 90OHMOKM , OM chung, OH = OK Suy ra OMHOMKMHMK . b) AB = CD mà ;OHABOKCD Suy ra AHHBCKKD . Mặt khác ;MBMHHBMDMKKD Do đó MB = MD. c) Ta có ;MAMHHAMCMKKC suy ra MAMC . MAC cân tại  180 2 M MMACMCA 