Tiêu đề Bài 4.3_Giải tam giác và các bài toán thưc tế_CTST_Lời giải.pdf ✅

BÀI 3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NĂM 1. Giải tam giác Giâi tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác đó khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó. 2. Phương pháp giải tam giác - Nếu biết 2 cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó: Sử dụng định lí côsin. - Nếu biết 1 cạnh và 2 góc bất kì của tam giác: Sử dụng định lí sin. - Nếu biết 3 cạnh của tam giác: Sử dụng định lí côsin. - Có thễ dùng các công thức tính diện tích để hỗ trợ giải tam giác. 3. Áp dụng giải tam giác vào thực tế Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt trong thiết kế và xây dựng. Chú ý: Nếu người quan sát đặt mắt tại điểm O nhìn lên thấy một vật tại điểm A và vẽ tia Ox song song với mặt đất thì xOA gọi là góc nâng tại O khi nhìn thấy A . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TÂP Dạng 1: Giải tam giác. 1. Phương pháp.  Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước.  Trong các bài toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau : biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó; biết một góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh. Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí côsin và định lí sin ; định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 0 180 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Giải tam giác ABC biết b = 32; c = 45 và A = 0 87 . Lời giải Theo định lí côsin ta có a = b + c - bc A = + - 2 2 2 2 2 0 2 .cos 32 4 2.32.4.sin 87 Suy ra a » 53, 8 Theo định lí sin ta có b A  B B a = = Þ » 0 0 sin 32 sin 87 sin 36 53, 8 Suy ra    C = - A - B » - - = 0 0 0 0 0 180 180 87 36 57 Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết   A = B = 0 0 60 , 40 và c = 14 . Lời giải Ta có    C = - A - B = - - = 0 0 0 0 0 180 180 60 40 80

Theo giải thiết ta có c < b < a suy ra    C < B < A do đó góc A là lớn nhất. Theo định lí côsin ta có ( ) ( ) b c a A bc + - + - - - = = = = - - - 2 2 2 2 2 8 6 2 12 4 4 3 1 cos 2 2.2 2. 6 2 8 3 8 2 Suy ra A = 0 120 Vậy góc lớn nhất là góc A có số đo là 0 120 . Dạng 3: Chứng Minh Đẳng Thức, Bất Đẳng Thức Liên Quan Đến Các Yếu Tố Của Tam Giác, Tứ Giác. 1. Phương pháp giải.  Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia, hai vế cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng.  Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng thức cạnh trong tam giác và bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, bunhiacôpxki,...) 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn A = B C 2 sin sin .sin . Chứng minh rằng a) a = bc 2 b) A 3 1 cos 2 Lời giải a) Áp dụng định lí sin ta có a b c A B C R R R sin = , sin = ,sin = 2 2 2 Suy ra a b c A B C a bc R R R æ ö = Û ç ç ÷ ÷ = Û = è ø 2 2 2 sin sin .sin . 2 2 2 đpcm b) Áp dụng định lí côsin và câu a) ta có b c a b c bc bc bc A bc bc bc + - + - - = = 3 = 2 2 2 2 2 2 1 cos 2 2 2 2 đpcm Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng: b c a A S + - = 2 2 2 cot 4 Lời giải: Áp dụng định lí côsin và công thức S = bc A 1 sin 2 ta có: cos cot sin sin A b c a b c a A A bc A S + - + - = = = 2 2 2 2 2 2 2 4 đpcm Dạng 4: Nhận Dạng Tam Giác 1. Phương pháp giải. Sử dụng định lí côsin; sin; công thức đường trung tuyến; công thức tính diện tích tam giác để biến đổi giả thiết về hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sinC = 2 sinB cosA. Chứng minh minh rằng tam giác ABC cân . Lời giải Áp dụng định lí côsin và sin ta có: c b b c a C B A R R bc + - = Û = 2 2 2 sin 2 sin cos 2. . 2 2 2
c = b + c -a Û a = b 2 2 2 2 Suy ra tam giác ABC cân tại đỉnh C. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC thoả mãn B C A B C + = + sin sin sin cos cos . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Lời giải Ta có: B C A A B C B C B C + = Û + = + + sin sin sin sin (cos cos ) sin sin cos cos a c a b a b c b c R ca ab R + - + - + Û + = 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 Û b c + a -b + c a + b -c = b c + c b 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 Û b + c + b c + bc -a b -a c = Û b + c b + c -a b + c = 3 3 2 2 2 2 2 2 2 0 ( )( ) ( ) 0 b + c = a Û DABC 2 2 2 vuông tại A. Ví dụ 3: Nhận dạng tam giác ABC trong các trường hợp sau: a) a.sinA +b sinB +c sinC = ha +hb +hc b) A B A B A B + = + + 2 2 2 2 2 2 cos cos 1 (cot cot ) sin sin 2 Lời giải a) Áp dụng công thức diện tích ta có S = bc sinA = aha 1 1 2 2 suy ra a.sinA +b sinB +c sinC = ha +hb +hc Û . . . S S S S S S a b c bc ca ab a b c + + = + + 2 2 2 2 2 2 Û a +b +c = ab +bc +ca Û (a -b ) +(b -c ) +(c -a ) = 2 2 2 2 2 2 0 Û a = b = c Vậy tam giác ABC đều b) Ta có: A B A B A B + = + + 2 2 2 2 2 2 cos cos 1 (cot cot ) sin sin 2 A B A B A B A B + + + Û = + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos sin sin 1 (cot 1 cot 1) sin sin 2 A B A B A B A B Û = + Û + = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) (sin sin ) 4sin sin sin sin 2 sin sin a b A B a b ABC R R æ ö æ ö Û = Û ç ç ÷ ÷ = ç ç ÷ ÷ Û = Û D ç ç è ø è ø 2 2 2 2 sin sin 2 2 cân tại C. Dạng 5: Bài toán thực tế Câu 1: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 0 60 . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây? A. 61 hải lí. B. 36 hải lí. C. 21 hải lí. D. 18 hải lí. Lời giải Chọn B Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có AB = 40, AC = 30 và  0 A = 60 . Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có