Tiêu đề Dang 11 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình.doc ✅

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI XI. Dạng 11: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình A. Bài toán Bài 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu. Bài 2: Một người mang trứng ra chợ bán. Tổng số trứng bán ra được tính như sau: Ngày thứ nhất bán được 8 trứng và 1 8 số trứng còn lại. Ngày thứ hai bán được 16 trứng và 1 8 số trứng còn lại. Ngày thứ ba bán được 24 trứng và 1 8 số trứng còn lại. Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết trứng. Biết số trứng bán được mỗi ngày đều bằng nhau. Hỏi tổng số trứng người đó bán được là bao nhiêu và bán hết trong mấy ngày ? Bài 3: Một người đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước. Nếu người đó đi nhanh hơn mỗi giờ 10km thì tới B sớm hơn dự định 36 phút; nếu người đó đi chậm hơn mỗi giờ 10km thì tới B muộn hơn dự định 54 phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km? Bài 4: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi. Bài 5: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa.Sau đó 5 phút, Bình và Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn.Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km 6CD km ; Vận tốc của An bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng 3 4 vận tốc của Cường Bài 6: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc DB , tổng cộng dài 30km . Một người đi từ A đến B rồi đi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc (cả đi lẫn về) là 10/kmh ; vận tốc xuống dốc (cả đi lẫn về) là 20/kmh ; vận tốc trên đoạn đường nằm ngang 15/kmh . Bài 7: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa .Sau đó 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km 6CD km ; Vận tốc của An bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng 3 4 vận tốc của Cường Bài 8: Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,35 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bằng sau, trong đó có ba ô bị mờ ở chữ số hàng đơn vị không đọc được (tại vị trí đánh dấu *). Điểm số của mỗi lần bắn 10 9 8 7 6 5 Số lần bắn 2* 40 1* 1* 9 7 Em hãy tìm lại các chữ số hàng đơn vị trong ba ô đó. Bài 9: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa .Sau đó 5 phút , Bình và Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn .Trên đường đi , An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận
tốc của mỗi người , biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km 6CD km ; Vận tốc của An bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng 3 4 vận tốc của Cường Bài 10: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình là 40 km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì mới được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. Bài 11: Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là những số nguyên và số đo chu vi bằng hai lần số đo diện tích. Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó. Bài 12: Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đoàn 26 – 3 . Biết rằng có n đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng một trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào. Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa và tổng số điểm của các đội là 336. Hỏi có tất cả bao nhiêu đội bóng tham gia? B. Lời giải Bài 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện tích không đổi; ngoài ra nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu. Lời giải Gọi chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng hình chữ nhật là x ; y với ( 1x ; 4y ) Nếu giảm chiều rộng đi 1m và tăng chiều dài thêm 2m thì diện tích không đổi nên ta có pt 1.2xyxy (1) Nếu giảm chiều dài đi 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta được hình vuông nên ta có pt 34xy7xy (2) Thế (2) vào (1) ta có: 8.2.7yyyy 16y ; 9x Vậy diện tích thửa ruộng ban đầu là: 16.9=144 ( 2m ) Bài 2: Một người mang trứng ra chợ bán. Tổng số trứng bán ra được tính như sau: Ngày thứ nhất bán được 8 trứng và 1 8 số trứng còn lại. Ngày thứ hai bán được 16 trứng và 1 8 số trứng còn lại. Ngày thứ ba bán được 24 trứng và 1 8 số trứng còn lại. Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết trứng. Biết số trứng bán được mỗi ngày đều bằng nhau. Hỏi tổng số trứng người đó bán được là bao nhiêu và bán hết trong mấy ngày ? Lời giải Gọi x là số trứng bán được ,8xNx , thì: Số trứng bán được trong ngày thứ nhất là : 8 8 8 x  Số trứng bán được trong ngày thứ hai là : 8 168 8 16 8 x x    
Theo bài ra ta có phương trình : 8 168 88 816 88 x x x      Giải phương trình ta được: x = 392. Vậy tổng số trứng bán được là 392 trứng Số trứng bán được mỗi ngày là 3928 856 8   Số ngày là 392 : 56 = 7 ngày. Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một người đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước. Nếu người đó đi nhanh hơn mỗi giờ 10km thì tới B sớm hơn dự định 36 phút; nếu người đó đi chậm hơn mỗi giờ 10km thì tới B muộn hơn dự định 54 phút. Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu km? Lời giải Đổi 36 phút 0,6h ; 54 phút 0,9h Gọi vận tốc dự định là: (/)(v0)vkmh Gọi thời gian dự định là: ()(t0)th Nếu người đó đi thêm đc 10km mỗi giờ thì vận tốc là: (10)(/)vkmh Khi đó người đó đến B sớm hơn dự định 36 phút nên thời gian người đó đi là: (0,6)(h)t Vì quãng đường AB không đổi nên ta có phương trình là: (10)(0,6).vtvt (1) Nếu người đó đi chậm hơn 10km mỗi giờ thì vận tốc là: (10)(/)vkmh Khi đó người đó đến B muộn hơn dự định 54 phút nên thời gian người đó đi là: (0,9)()th Vì quãng đường AB không đổi nên ta có phương trình là: (10)(0,9).vtvt (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: (10)(0,6). (10)(0,9). vtvt vtvt     100,66. 100,99. 100,66 100,99 3,6 50 vttvvt vttvvt tv tv t v             Vậy quãng đường AB là: 50.3,6180()km Bài 4: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi. Lời giải Gọi a, b, c lần lượt là cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông của  vuông. Khi đó: a, b, c  N và a  5; b, c  3 Ta có hệ phương trình:       )2()cba(3bc )1(cba222 (1): a 2 = b 2 + c 2 = (b + c) 2 – 2bc = (b + c) 2 – 6(a + b + c)  a 2 + 6a + 9 = (b + c) 2 – 6(b + c) + 9  (a + 3) 2 = (b + c – 3) 2  a + 3 = b + c – 3  a = b + c – 6 (2): bc = 3(b + c – 6 + b + c) = 3(2b + 2c – 6)
 (b – 6)(c – 6) = 18 Nên ta có các trường hợp sau: 1. b – 6 = 1 và c – 6 = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25 2. b – 6 = 2 và c – 6 = 9 thì b = 8; c = 15 và a = 17 3. b – 6 = 3 và c – 6 = 6 thì b = 9; c = 12 và a = 15 Bài 5: An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa.Sau đó 5 phút, Bình và Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn.Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp bình ở địa điểm D .Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng quãng đường Sài Gòn –Biên Hòa dài 39 km 6CD km ; Vận tốc của An bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng 3 4 vận tốc của Cường Lời giải Gọi ,,xyz là vận tốc của An, Bình, Cường Suy ra 2 3yx và 4 3zx Gọi S là quãng đường mà An đi được cho tới khi gặp cường.Kết hợp với 6 CDkm suy ra quãng đường mà An đã đi được cho tới khi gặp Bình là 39633SS Theo đề bài ta có hệ phương trình 391 412 3 6331 212 3 SS x x SS x x             Giải hệ này cho ta 48x vậy vận tốc của An là 48/kmh vận tốc của Bình là 32/kmh vận tốc của Cường là 64/kmh Bài 6: Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC , đoạn nằm ngang CD , đoạn xuống dốc DB , tổng cộng dài 30km . Một người đi từ A đến B rồi đi từ B về A hết tất cả 4 giờ 25 phút. Tính quãng đường nằm ngang, biết rằng vận tốc lên dốc (cả đi lẫn về) là 10/kmh ; vận tốc xuống dốc (cả đi lẫn về) là 20/kmh ; vận tốc trên đoạn đường nằm ngang 15/kmh . Lời giải s3 s2 s1 AB=30 km AB CD Gọi 123123;;0;0;0ACsCDsBDssss Ta có: 12330ssskm . Gọi vận tốc lên, vận tốc ngang, xuống lần lượt là 123;;vvv . Thời gian đi và về là: 53 425 12hh . Theo đề bài, ta có phương trinh: 331212 123321 53 12 ssssss vvvvvv