Tiêu đề Chuyên đề 8. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ.doc ✅

Chuyên đề 8. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng công thức dạng yaxb , trong đó a, b là những hằng số với 0a . Hàm số bậc nhất có tập xác định là ℝ . 2. Tính chất Tính đồng biến, nghịch biến: Với 0a , hàm số đồng biến trên ℝ . Với 0a , hàm số nghịch biến trên ℝ . Đồ thị - Đồ thị của hàm số yaxb 0a là một đường thẳng gọi là đường thẳng yaxb . Nó có hệ số góc bằng a và có đặc điểm: - Không song song và không trùng với các trục tọa độ; - Cắt trục hoành tại điểm ;0a A b     và cắt trục tung tại điểm 0;Bb . Quan hệ giữa 2 đường thẳng Cho hai đường thẳng :;:dyaxbdyaxb , ta có: + d song song với daa và ;bb + d trùng với daa và ;bb + d vuông góc với .1;daa + d cắt .daa B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho hàm số 215ymx (m là tham số). a) Xác định các giá trị của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất. b) Tìm các giá trị của m để hàm số trên là hàm số đồng biến. Giải a) Hàm số 215ymx là hàm số bậc nhất 1 210 2mm  . b) Hàm số 215ymx là hàm số đồng biến 1 210 2mm  . Nhận xét: Để nhận dạng hàm số bậc nhất chúng ta cần lưu ý rằng: Công thức có dạng yaxb 0a . Chẳng hạn, hàm số 221yxx có hệ số 20 nhưng không phải là hàm bậc nhất vì nó không có dạng yaxb . Ví dụ 2: Cho hai hàm số 312ymx và 17ymx (với m là tham số). Tìm giá trị của m để hai hàm số trên là hàm bậc nhất và đồ thị của chúng là hai đường thẳng cắt nhau. Giải Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi:   1 310 3 10 1 mm m m         Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi: 31m1m221mm Vậy các giá trị của m thoả mãn đồng thời các điều kiện 1 ;1 3mm và 1m là giá trị cần tìm. Nhận xét :
+ Với 1 3m , hai hàm số đã cho trở thành 2y và 4 7 3yx . Khi đó 2y không phải là hàm số bậc nhất nhưng đồ thị của nó cũng là một đường thẳng và nó song song với trục hoành, còn hàm số bậc nhất 4 7 3yx có đồ thị là đường thẳng cắt trục hoành. Từ đó ta có đồ thị của hai hàm số 2y và 4 7 3yx cắt nhau. + Tương tự với 1m , hai hàm số đã cho trở thành : 4x2y và 7y . Lập luận tương tự ta cũng có đồ thị của hai hàm số này cắt nhau. + Các đường thẳng 2y và 7y học ở chương III. Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng 134ymx d và 3ynxn d . a) Tìm m và n để d trùng d . b) Tìm m và n để d song song d . Giải a) d trùng d khi và chỉ khi 1330 44 mnm nn     b) d song song d khi và chỉ khi 13343 44 mnnm nn     Nhận xét : Đối với bài toán trên, chúng ta cần xác định rõ yêu cầu của đề là tìm điều kiện để 2 đường trùng nhau hoặc song song chứ không yêu cầu chúng phải là hàm bậc nhất. Vì vậy, nếu đặt điều kiện 130m hoặc 30n thì lời giải sẽ không đúng. Ví dụ 4. Cho ba hàm số : 2yx có đồ thị là 1d 2yx có đồ thị là 2d 22yx có đồ thị là 3d a) Vẽ đồ thị của ba hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Cho biết 1d cắt 2d tại A, 1d cắt 3d tại B, 2d cắt 3d tại C. Tính diện tích tam giác ABC. Giải a) Xem hình 1. b) Từ câu a, ta có: 2;0,B0;2,C4;6A .
2d có phương trình 2yx . Cho 0x thì 2y do đó 2d cắt Oy tại 0;2M . Gọi H là hình chiếu của điểm C lên Oy thì 0;6H . Ta có : 1111 ..4.2.4.412 2222ABCABMMBCSSSBMOABMCH . Nhận xét : Với phần b) chúng ta có thể giải theo một số cách khác. Chẳng hạn: Cách 2: Ta kiểm tra thấy 12ddABAC . Lại có: 2222 22;62ABAOBOACAKKC . (K là hình chiếu vuông góc của C lên trục hoành). Khi đó 1 .AC12 2ABCSAB . Cách 3: Gọi E là giao của BC và trục hoành. Tìm được 1;0E . Khi đó: E 11 .E.E=12 22ABCABEACSSSBOACKA . Ví dụ 5. a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A4;1 và song song với đường thẳng 25yx . b) Xác định hàm số yaxb biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm 1;2B và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 3 . Giải a) Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng 25yx có dạng : 2yxb 5b d . Vì d đi qua điểm A4;1 nên 2.417bb (thoã mãn điều kiện 5b ). Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 27yx . b) Vì đồ thị của hàm số yaxb luôn đi qua điểm 1;2B nên ta có : 2ab (1). Vì đồ thị của hàm số yaxb cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 3 nên ta có : 3b (2). Từ (1) và (2) suy ra : 1;b3y3ax . Nhận xét : Ngoài cách giải như trên, chúng ta có cũng thể viết phương trình đường thẳng bằng cách đi tìm 2 yếu tố, đó là: Một điểm 00;Mxy thuộc đường thẳng và hệ số góc k của nó. Khi đó phương trình của đường thẳng là: 00ykxxy . Áp dụng vào phần a, đường thẳng đi qua điểm 4;1C và song song với đường thẳng 25yx nên từ đó suy ra đường thẳng cần tìm có hệ số góc 2k đồng thời đi qua 4;1C . Như vậy ta có: Phương trình cần tìm là: 24127yxyx . Với phần c, ta cũng có thể giải bằng cách đi tìm 2 điểm trên đường thẳng. Sau đó làm tương tự phần a. Ví dụ 6. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng :11dykxnk và hai điểm 0;2A và 1;0B (với k,n là các tham số). 1. Tìm các giá trị của k và n để : a) Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B. b) Đường thẳng d song song với đường thẳng :2yxk 2. Cho 2n . Tìm k để đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB. Giải
1.