Tiêu đề TOAN-11_C2_B7.1_CAP-SO-NHAN_TU-LUAN_HDG.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Page 1 Sưu tầm và biên soạn BÀI 6: CẤP SỐ NHÂN 1. ĐỊNH NGHĨA: Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu (un ) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: n n 1 u u q + = với * n .  Đặc biệt: • Khi q , = 0 cấp số nhân có dạng 1 u , , , ..., , ... 0 0 0 • Khi q , =1 cấp số nhân có dạng 1 1 1 1 u , u , u , ..., u , ... • Khi 1 u = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0 0 0 0 , , , ..., , ... 2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số nhân có số hạng đầu 1 u và công bội q thì số hạng tổng quát n u được xác định bởi công thức 1 1 n n u u .q − = với n .  2 Chú ý: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là 2 k k k 1 1 u u .u = − + với k .  2 3. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN Cho cấp số nhân (un ) với công bội q . 1 Đặt n n 1 2 S u u ... u . = + + + Khi đó 1 (1 ) 1 n n u q S . q − = − Chú ý: Nếu q =1 thì cấp số nhân là 1 1 1 1 u , u , u , ..., u , ... khi đó n 1 S nu . = CHƯƠNG II DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I LÝ THUYẾT. =
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Page 2 Sưu tầm và biên soạn Dạng 1: Chứng minh một dãy là cấp số nhân. Dạng 2. Xác định các đại lượng của cấp số nhân Dạng 3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Dạng 4. Một số bài toán liên quan đến cấp số nhân DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY LÀ CẤP SỐ NHÂN. + Chứng minh n n 1 u u q, n * + =   trong đó q là một số không đổi. + Nếu 0 * n u n    thì n u là một cấp số nhân 1 : * n n u q const n u  =   + + Để chứng minh dãy không phải là cấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba số hạng liên tiếp không tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn 3 2 2 1 u u u u  . + Để chứng minh a,b,c theo thứ tự đó lập thành CSN, ta chứng minh 2 ac b = hoặc b ac = Câu 1: Chứng minh rằng dãy số ( ) ( ) 2 1 3 n n n n v : v . = − là một cấp số nhân. Lời giải ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 3 9 1 3 n n n * n n n v , n v + + + − = = −   − . Vậy ( ) ( ) 2 1 3 n n n n v : v . = − là một cấp số nhân. Câu 2: Giá trị của a để 1 1 ; ; 5 125 a − − theo thứ tự lập thành cấp số nhân? Lời giải Ta có: 2 1 1 1 1 . 5 125 625 25 a a     = − − =  =          DẠNG 2. XÁC ĐỊNH CÁC ĐẠI LƯỢNG CỦA CẤP SỐ NHÂN Vận dụng các công thức ở định nghĩa, số hạng tổng quát, tính chất của cấp số nhân. (u n ) (u n ) (u n ) II HỆ THỐNG BÀI TẬP. = 1 PHƯƠNG PHÁP. = 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. = 1 PHƯƠNG PHÁP. = 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. =
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Page 3 Sưu tầm và biên soạn Câu 3: Cho cấp số nhân (un ) với công bội q < 0 và 2 4 u ,u = = 4 9 . Tìm 1 u . Lời giải Vì 2 q ,u   0 0 nên 3 u  0 . Do đó 3 2 4 u u .u . = − = − = − 4 9 6 ; 2 2 2 2 2 1 3 1 3 4 8 6 3 u u u .u u u =  = = = − − . Chọn đáp án A Câu 4: Cho cấp số nhân (un ) biết 1 5 2 6 u u ;u u + = + = 51 102 . Hỏi số 12288 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân (un ) ? Lời giải Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có ( ) ( ) 4 1 1 5 1 1 4 2 6 1 51 1 51 2 3 3 2 102 1 102 n n u u u q q u u . u u u q q − + =  + =       =  =  =  + =  + =  . Mặt khác 1 1 12 12288 3 2 12288 2 2 13 n n n u . n − − =  =  =  = . Câu 5: Cho cấp số nhân ( ) n u thỏa: 4 3 8 2 27 243 u u u   =   =  . a) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân: b) Số 2 6561 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số? Lời giải Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có: 3 3 1 1 2 7 5 1 1 1 2 2 1 27 27 3 1 243. 2 243 u q u q q u q u q q u   =     =  =         = = =    a)Năm số hạng đầu của cấp số là: 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2, , ; , 3 9 27 81 u u u u u = = = = = . b)Ta có: 1 8 1 2 2 3 6561 3 9 3 6561 n n n n u u n − − =  =  = =  = Vậy 2 6561 là số hạng thứ 9 của cấp số. Câu 6: Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có công bội bằng 2. Tìm 4 góc ấy Lời giải
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Page 4 Sưu tầm và biên soạn 4 0 0 0 1 2 3 4 1 1 1 360 360 24 1 2 2 2 q U U U U U U q q q q  −  + + + =  =  =      −  =  =   = Vậy 4 góc là: 24, 48, 96, 192. Câu 7: Cho 5 số lập thành một cấp số nhân. Biết công bội bằng một phần tư số hạng đầu tiên và tổng 2 số hạng đầu bằng 8. Lời giải 1 2 1 2 1 1 1 1 1 8 8 4 32 4 1 1 2 4 4 1 U U U U U U q U q U q q  = −   + =  + =     =         = =  = −     =  Vậy CSN là: -8, 16, -32, 64, -128; 4,4,4,4,4 DẠNG 3: TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN Ghi nhớ công thức ( ) ( ) 1 1 1 1 n n u q S , q . q − =  − Câu 8: Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366. Lời giải 1 2 u ,u q . = =  = 18 54 3 1 1 1 7 1 39366 39366 18 3 39366 3 3 8 n n n n u u .q . n − − − =  =  =  =  = . Vậy 8 8 1 3 18 59040 1 3 S . − = = − . Câu 9: Cho cấp số nhân ( ) n u thỏa: 4 3 8 2 27 243 u u u   =   =  .Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; Lời giải Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có: 1 PHƯƠNG PHÁP. = 2 BÀI TẬP TỰ LUẬN. =