Tiêu đề 040_Tuyển sinh 10_Toán Chuyên_mới_tỉnh_Long An_25-26.pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Kỳ thi Tuyển sinh lớp 10 năm học 2025-2026 Môn thi : TOÁN (CHUYÊN TOÁN+TIN) Ngày thi : 07/06/2025 Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức 3 3 2 3 ( ) 2 3 1 3 x x x x P x x x x − − + = − − − − + − với x x   0; 9 a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P  4 Câu 2. (2,0 điểm) Cho phương trình 2 2 x x m + − (m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, b) Tính giá trị của 2 2 2 1 1 2 2 1 2 x x x x x 2 2 P x x + + + = − Câu 3. (1,0 điểm) Giải phương trình 4 3 2 2 x x x x x x − + − + − + = 4 6 4 2 17 3 Câu 4. (2,5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho ABD MBC = a) Chứng minh ABD đồng dạng MBC b) Chứng minh ABCD BD AM . . = c) Chứng minh AD BC ABCD BD AC . . . + = Câu 5. (1,0 điểm) Cho nm, là các số tự nhiên và 4 4 n m+ chia hết cho 5. Tìm số dư khi chia 2025 2025 n m+ cho 5 Câu 6. (1,0 điểm) Cho ab, là các số thực dương sao cho 2 2 2 3 a b b a b a b ab − = + + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 1 a ab a P b a + + + = + + Câu 7.
Trên hình vẽ minh họa, các điểm AB, là vị trí hai hòn đảo và đường thẳng DC là bờ biển. Biết rằng khoảng cách giữa hai đảo là AB km =130 . Khoảng cách từ đảo A đến bờ biển là AD km = 70 , khoảng cách từ đảo B đến bờ biển là BC km = 20 Trên bờ biển, người ta thiết kế một trạm trung chuyển E. Tàu hàng di chuyển theo hành trình đi từ A đến E rồi đi từ E đến B. Vị trí trạm trung chuyển E phải cách vị trí C bao nhiêu km để hành trình của tàu hàng là ngắn nhất ? ĐÁP ÁN Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức 3 3 2 3 ( ) 2 3 1 3 x x x x P x x x x − − + = − − − − + − với x x   0; 9 c) Rút gọn biểu thức P d) Chứng minh P  4 Lời giải : a/ Với x x   0; 9 thì D C A E B
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 3 3 3 2 3 1 3 3 2 6 3 3 1 1 3 3 2 12 18 4 3 3 8 24 1 3 1 3 3 8 3 8 1 3 1 x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − + = − − − − + − − − − − − + + = + − − − + − − − − − + − = = + − + − − + − + = = + − + Vậy với x x   0; 9 thì 8 1 x P x + = + b/ xét hiệu P− 4, ta có : ( ) 2 2 8 8 4 4 4 4 4 4 0 1 1 1 1 x x x x x x P x x x x − + + − − − + − = − = = =  + + + + (với mọi x) Vậy P suy ra P −   4 0 4 Dấu bằng xảy ra khi x x tm − =  = 2 0 4( ) Vậy P  4 với mọi x x   0; 9 Câu 2. (2,0 điểm) Cho phương trình 2 2 x x m + − (m là tham số) c) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, d) Tính giá trị của 2 2 2 1 1 2 2 1 2 x x x x x 2 2 P x x + + + = − a) Ta có ( ) 2 2 2 2  = − = − − = +  b ac m m 4 1 4.1. 4 1 0 (với mọi m) Suy ra  0 với mọi m Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, với mọi m b) Theo định lý Vi-et, ta có : 1 2 2 1 2 x x 1 x x m  + =   = − Vì 1 2 x x; là hai nghiệm của phương trình nên 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 x x m suy ra x m x x x m suy ra x m x + − = = − + − − = − Khi đó
( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2. 1 1 1 1 x x x x x m x x x x x P x x m x x m x x x x m m m m x x m m + + + − + + + = = − − − + + + − + − − − = = = = − − + + + Vậy P =−1 Câu 3. (1,0 điểm) Giải phương trình 4 3 2 2 x x x x x x − + − + − + = 4 6 4 2 17 3 Lời giải Vì ( ) 2 2 x x x − + = − +  2 17 1 16 16 nên phương trình xác định với mọi x Ta có 4 3 2 2 x x x x x x − + − + − + = 4 6 4 2 17 3 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 4 3 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 4 2 2 2 2 3 3 3 3 1 2 17 4 1 3 1 3 1 ( 1) 2 1 16 4 1 3 3 1 2 1 16 4 0 1 2 1 16 4 0 2 1 2 1 16 4 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − + + − − + + − + = − − − + − − − + − + + = − − + − + − + + − = − + − + + − = − + + − + + − = Đặt ( ) 2 t x x t = + + +  2 1 16 4 Suy ra 2 2 2 2 t x x suy ra x x t = − + + − + = − 2 1 16 2 1 16 Khi đó phương trình đã cho trở thành : ( )( ) ( )( ) 2 16 4 0 4 4 ( 4) 0 4 5 0 4( 4 4 0) 4 t t t t t t t t dot nênt suy rat − + − = − + + − = − + = =  +  = Với ( ) 2 2 t suy ra x x suy ra x suy ra x = − + = − = = 4 2 1 0 1 0 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x =1 Câu 4. (2,5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho ABD MBC = d) Chứng minh ABD đồng dạng MBC e) Chứng minh ABCD BD AM . . = f) Chứng minh AD BC ABCD BD AC . . . + = Lời giải