Tiêu đề GỘP CHƯƠNG 7_ĐẠO HÀM_Chỉ có đề.pdf ✅

CHƯƠNG VII. ĐẠO HÀM Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu những vấn đề sau: định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm; các quy tắc tính đạo hàm; đạo hàm bậc hai. BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM Tên lửa vũ trụ là phương tiện được chế tạo đặc biệt giúp con người thực hiện các sứ mệnh trong không gian như: tiếp cận đến các hành tinh ngoài Trái Đất, vận chuyển con người và thiết bị lên vũ trụ,.. (Hình 1). Nếu quỹ đạo chuyển động của tên lửa được miêu tả bằng hàm số theo thời gian thì đại lượng nào biểu thị độ nhanh chậm của chuyển động tại một thời điểm? A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm a) Bài toán tìm vận tốc tức thời Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta thả một viên bi cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi. Bằng việc chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc O là vị trí ban đầu của viên bi, tức là tại thời điểm 0 giây, và bỏ qua sức cản không khí, ta nhận được phương trình chuyển động của viên bi là   1 2 2 y  f x  gx ( g là gia tốc rơi tự do, 2 g  9,8m / s ). Giả sử tại thời điểm 0 x , viên bi ở vị trí M0 có y0  f  x0  ; tại thời điểm 1 x , viên bi ở vị trí M1 có y1  f  x1 . Khi đó, trong khoảng thời gian từ 0 x đến 1 x , quãng đường viên bi đi được là M0M1  f  x1   f  x0  (Hình 2). Vậy vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời gian đó là .
Nếu 1 0 x  x càng nhỏ thì tỉ số trên càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của viên bi tại thời điểm 0 x . Từ đó, người ta xem giới hạn của tỉ số  1   0  1 0 f x f x x x   khi 1 x dần 0 x là vận tốc tức thời tại thời điểm 0 x của viên bi, kí hiệu là v  x0 . Nói cách khác,       1 0 1 0 0 1 0 limx x f x f x v x  x x    . Giá trị v  x0  gọi là đạo hàm của hàm số   1 2 2 y  f x  gx tại thời điểm 0 x . b) Bài toán tìm cường độ tức thời Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t , Q  Qt. Cường độ trung bình trong khoảng thời gian 0 t  t được xác định bởi công thức    0  0 Q t Q t t t   . Nếu 0 t  t càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm 0 t . Người ta đưa ra định nghĩa sau đây: Giới hạn hữu hạn (nếu có)     0 0 0 limt t Q t Q t  t t   được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm 0 t . 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Hoạt động 1. Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm 0 x 1s trong bài toán tìm vận tốc tức thời. 3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;b và điểm 0 x thuộc khoảng đó. Để tính đạo hàm f  x0  của hàm số y  f  x tại 0 x , ta lần lượt thực hiện ba bước sau: Bước 1. Xét x là số gia của biến số tại điểm 0 x . Tính y  f  x0  x  f  x0 . Bước 2. Rút gọn tỉ số y x   . Bước 3. Tính 0 limx y   x   . Kết luận: Nếu 0 limx y a   x    thì f  x0   a . Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số   1 f x x  tại 0 x  2 bằng định nghĩa. ❓ Tính đạo hàm của hàm số f  x  2x tại 0 x  3 bằng định nghĩa. Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số   2 f x  x tại điểm x bất kì bằng định nghĩa. ❓ Tính đạo hàm của hàm số   3 f x  x tại điểm x bất kì bằng định nghĩa. 4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm vật lí. Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s  st , với s  st là một hàm số có đạo hàm. Như đã thấy trong bài toán mở đầu, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 0 t là đạo hàm của hàm số tại 0 t : v t0   st0  II.Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
Cho hàm số y  f  x có đồ thị C, một điểm M0 cố định thuộc C có hoành độ 0 x . Với mỗi điểm M thuộc C khác M0 , kí hiệu M x là hoành độ của điểm M và M k là hệ số góc của cát tuyến M0M . Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn 0 0 lim M M x x k k   . Khi đó, ta coi đường thẳng M0T đi qua M0 và có hệ số góc 0 k là vị trí giới hạn của cát tuyến M0M khi điểm M di chuyển dọc theo C dần tới M0 . Đường thẳng M0T được gọi là tiếp tuyến của C tại điểm M0 , còn M0 được gọi là tiếp điểm (Hình 3). Hình 3 a) Xác định hệ số góc 0 k của tiếp tuyến M0T theo 0 x . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0 . Ta có:       0 0 0 0 0 0 lim lim M M M M x x x x M f x f x k k f x   x x       . Như vậy ta có kết luận sau: + Đạo hàm của hàm số y  f  x tại điểm 0 x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0  x0 ; f  x0 . + Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x tại điểm M0  x0 ; f  x0  là y  f  x0  x  x0   f  x0 . Ví dụ 3. Cho hàm số 2 y  x có đồ thị C. a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng 3. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm M 3; 9 . ❓ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 y x  tại điểm N 1;1. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Tìm số gia của hàm số 1. Phương pháp  Số gia của hàm số y  fx tại điểm 0 x là     0 0 y  f x  x  f x .  Chú ý rằng số gia y của hàm số là một hàm số của số gia biến số x. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tìm số gia của hàm số   3 2 y  f x  x  3x  2 , biết rằng 0 x 1; x  0,1. .
Ví dụ 2: Tính số gia của hàm số y  2x  3 theo x và x . Ví dụ 3: Tính y x   của hàm số 3 2 y  2x  3x theo x và x . Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa 1. Phương pháp  Tính số gia của hàm số     0 0 y  f x  x  f x .  Lập tỉ y . x    Tính giới hạn x 0 y lim .   x   2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của hàm số 2 y  2x  x  1 tại 0 x  2 . Ví dụ 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra 2 y  x  3 tại x;x Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số 3 2 1 1 khi 0 ( ) 0 khi 0 x x x f x x x            tại x  0 . Ví dụ 4: Tìm a, b để hàm số   2 khi 1 khi 1 x x x f x ax b x         có đạo hàm tại x 1. Dạng 3. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm 1. Phương pháp . Vận tốc tức thời tại thời điểm 0 t của chất điểm chuyển động với phương trình s  st là     0 0 v t  s' t . . Cường độ tức thời tại thời điểm 0 t của một dòng điện với điện lượng Q  Qt là I t0   Q't0  . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là:   2 s  f t t 4t 6 (t được tính bằng giây, s được tính bằng mét) a) Tính đạo hàm của hàm số f t tại điểm 0 t . b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t 5.