Tiêu đề TOAN-11_C5_B15.1_GIOI-HAN-CUA-DAY-SO_TULUAN_HDG.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 1 Sưu tầm và biên soạn BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim 0 n n u →+ = hay lim 0 n u = hay 0 n u → khi n→+. Ta nói dãy số (vn ) có giới hạn là a (hay n v dần tới a ) khi n → +, nếu lim 0. ( n ) n v a →+ − = Kí hiệu: lim n n v a →+ = hay n v a → khi n→+. Từ định nghĩa ta có các kết quả sau: a) lim 0 lim 0 n n n n u u →+ →+ =  = ; hay lim 0 0 n→+ = ; b) 1 lim 0 n→+ n = ; ( ) 1 * lim 0, 0, k n k k →+ n =   ; 1 lim 0 n→+ n = ; 3 1 lim 0 n→+ n = ; c) lim 0 n n q →+ = nếu q 1 ; d) Cho hai dãy số (un ) và (vn ) Nếu n n u v  với mọi n và lim 0 n n v →+ = thì lim 0 n n u →+ = . 2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ a) Nếu lim n u a = và lim n v b = và c là hằng số. Khi đó ta có : lim(u v a b n n + = + ) • − = − lim(u v a b n n ) lim .v . (u a b n n ) = lim , 0 ( ) n n u a b v b • =  lim . . (c u c a n ) = . lim n • = u a và 3 3 lim n u a = Nếu 0 n u  với mọi n thì a  0 và lim n u a = . b) Cho ba dãy số (u v n n ),( ) và (wn ) . Nếu u v w n n n n   ,( ) và lim lim , u w a a n n = =  ( ) thì lim n v a = (gọi định lí kẹp). c) Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn. Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn. CHƯƠNG V GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC I LÝ THUYẾT. =
CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 2 Sưu tầm và biên soạn Kỹ năng sử dụng máy tính Tính lim n n u → thì nhập n u và ấn phím CALC 10 n =10 . 3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vô hạn (un ) có công bội q , với q 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 u S q = − 4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ • Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là + khi n→+ , nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim n u = + hay n u → + khi n→+. • Dãy số (un ) có giới hạn là − khi n→+ , nếu lim(− = + un ) . Kí hiệu: lim n u = − hay n u → − khi n→+. Nhận xét: u u n n = +  − = − lim . ( ) Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận các kết quả sau a) lim k n = + với k nguyên dương; b) lim n q = + nếu q 1. Quy tắc tính giới hạn vô cực a) Nếu lim n u a = và lim n v =  thì lim 0 n n u v = . b) Nếu lim 0 n u a =  , lim 0 n v = và 0, 0 n v n    thì lim . n n u v = + c) Nếu lim n u = + và lim 0 n v a =  thì lim . . n n u v = + Quy tắc tìm giới hạn tích lim u .v ( n n ) Nếu n n lim u L,lim v (hay ) = = + −  . Khi đó lim u v ( n n ) n lim u L = n lim v lim u v ( n n ) + + + + − − − + − − − +
CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 3 Sưu tầm và biên soạn Quy tắc tìm giới hạn thương n n u lim v n lim u n lim v Dấu của n v n n u lim v L  Tùy ý 0 L 0  0 + + 0 − − L 0  0 + − 0 − + Nhận xét: Ta thường dùng quy tắc giới hạn tích trong bài toán giới hạn vô cực của dãy số. TÓM TẮT CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: ; ; 2. Định lí: a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì • lim = a + b • lim = a – b • lim = a.b • b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim c) Nếu ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 + u1q + u1q 2 + ... = 1. Giới hạn đặc biệt: ; 2. Định lí: a) Nếu thì b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim = 0 c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0 thì lim = d) Nếu lim un = +, lim vn = a thì lim = * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định. 1 lim 0 n→+ n = 1 lim 0 ( ) k n k n + →+ =  lim 0 ( 1) n n q q →+ =  lim n C C →+ = lim n n u a v b = n u a = n n u v  lim n u a = 1 1 u − q ( q 1) lim n = + lim ( ) k n k + = +  lim ( 1) n q q = +  lim n u = + 1 lim 0 n u = n n u v n n u v . 0 . 0 n n neáu a v neáu a v +   −   0 0 neáu a neáu a +   −  0 0  
CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 4 Sưu tầm và biên soạn DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 Phương pháp giải: Để chứng minh lim 0 n u = ta chứng minh với mỗi số a  0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số o n sao cho n o u a n n    . Câu 1: Chứng minh rằng 2 1 lim 0 n 1 = + Lời giải Với a  0 nhỏ tùy ý, ta có 2 2 1 1 1 1 1 1 a n n n a =    − + + . Chọn 1 1 o n a   = −     . Do đó   a 0, 0 : o   n n n ta luôn có 2 1 1 a n  + 2 1 lim 0 n 1  = + . Chú ý: Kí hiệu a là lấy phần nguyên của a . Câu 2: Chứng minh rằng 2 sin lim 0 2 n n = + Lời giải Với a  0 nhỏ tùy ý, ta có 2 2 sin sin 1 1 2 2 2 2 n n a n n n n a =     − + + + . Chọn 1 2 o n a   = −     . Do đó   a 0, 0 : o   n n n ta luôn có 2 sin 2 n a n  + 2 sin lim 0 2 n n  = + . Chú ý: Kí hiệu a là lấy phần nguyên của a . Câu 3: Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 1 lim 0 2 3 n n n + +   −   − =     Lời giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được * * 1 1 2 , , 2 n n n n n n        . Với a  0 nhỏ tùy ý, ta có ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 2 n n n n n n n n a n n a + + + + + + − − = +  + =     . Chọn 1 o n a   =     . Do đó   a 0, 0 : o   n n n ta luôn có ( ) 1 1 1 1 2 3 n n n a + + − −  ( ) 1 1 1 1 lim 0 2 3 n n n + +   −  − =       . Chú ý: Kí hiệu a là lấy phần nguyên của a . DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN BẰNG 0 CỦA DÃY SỐ Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn 0 và các giới hạn đặc biệt để giải quyết bài toán. II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. =