Tiêu đề C4-B1-NGUYEN HAM- K12.docx ✅

 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN 12 - CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 1 MỤC LỤC ⬥CHƯƠNG ④. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 2 ▶BÀI ❶. NGUYÊN HÀM 2 Ⓐ. Tóm tắt kiến thức 2 Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản 3 ⬩Dạng ❶: Áp dụng định nghĩa 3 ⬩Dạng ❷: Nguyên hàm hàm số lũy thừa 4 ⬩Dạng ❸: Nguyên hàm hàm số lượng giác 6 ⬩Dạng ❹: Nguyên hàm hàm số mũ 8 ⬩Dạng ❺: Nguyên hàm có điều kiện 9 ⬩Dạng ❻: Bài toán thực tế (liên quan đến vận tốc, gia tốc, quãng đường,…) 10 Ⓒ. Dạng toán rèn luyện 11 ⬩Dạng ❶: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn 11 ⬩Dạng ❷: Câu trắc nghiệm đúng, sai 18 ⬩Dạng ❸: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn 34
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN 12 - CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 2 ⬥CHƯƠNG ④. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN ▶BÀI ❶. NGUYÊN HÀM Ⓐ. Tóm tắt kiến thức ❶. ĐỊNH NGHĨA  Cho hàm số fx xác định trên K .  Hàm số Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên K nếu  Fxfx với mọi x thuộc K .  Tổng quát, ta có:  Cho Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K . Khi đó:  Với mỗi hằng số C , hàm số FxC cũng là một nguyên hàm của fx trên K .  Nếu Gx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì tồn tại hằng số C sao cho GxFxC với mọi x thuộc K .  Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số fx trên K đều có dạng FxC , với C là hằng số. Ta gọi FxC , C¡ là họ tất cả các nguyên hàm của fx trên K ,  Kí hiệu dfxx  Viết dfxxFxC ❷. NGUYÊN HÀM MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN  Nguyên hàm hàm sơ cấp  Với 1a , ta có: 1 1   dxxxCaa a;  1  dlnxxC x;   sindcosxxxC;  2 1  dcot sinxxC x   cosdsinxxxC;  2 1  dtan cosxxC x  Với 0a , 1a , ta có:  d ln x xa axC a            
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN 12 - CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 3  ❸. TÍNH CHẤT  Cho fx , gx là hai hàm số liên tục trên K .  ⑴ ddkfxxkfxx với k là hằng số khác 0  ⑵ dddfxgxxfxxgxx  ⑶ dddfxgxxfxxgxx           Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản ⬩Dạng ❶: Áp dụng định nghĩa  Phương pháp  Cho Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K . Khi đó:  Với mỗi hằng số C , hàm số FxC cũng là một nguyên hàm của fx trên K .  Nếu Gx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì tồn tại hằng số C sao cho GxFxCxK .  Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số fx trên K đều có dạng FxC , với C là hằng số. Ta gọi FxC , C¡ là họ tất cả các nguyên hàm của fx trên K ,  Kí hiệu dfxx  Viết dfxxFxC ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Chứng minh 3254Fxxx là một nguyên hàm của hàm số 65fxx trên ¡ . Lời giải Ta có: 3225465Fxxxxfx với mọi x thuộc ¡ . Vậy Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên ¡ . Câu 2: Tìm 2 1 d cosx x trên 22;pp    . Lời giải Vì 21tan cosx x   với mọi x thuộc 22;pp    Nên tanFxx là một nguyên hàm của 2 1 cosx trên 22;pp    .
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN 12 - CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 4 Vậy 2 1 dtan cosxxC x  trên 22;pp    . Câu 3: Trong mỗi trường hợp sau, hàm số Fx có là một nguyên hàm của hàm số fx trên khoảng tương ứng không? Vì sao? ⑴ lnFxxx và 1lnfxx trên khoảng 0; ; ⑵ sinxFxe và cosxfxe trên ¡ . Lời giải ⑴ lnFxxx và 1lnfxx trên khoảng 0; ; 0;x , ta có 11ln.lnFxxxxfx x nên hàm số Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên khoảng 0; . ⑵ sinxFxe và cosxfxe trên ¡ . Vì sincoscosxxFxefxex nên hàm số Fx không là một nguyên hàm của hàm số fx trên ¡ . ⬩Dạng ❷: Nguyên hàm hàm số lũy thừa  Phương pháp  ⑴ 0 dxC ⑵ dxxC  ⑶ 11 1   dxxxCaaa a ⑷ 2 11  dxC xx  ⑸ 1 2 dxxC x ⑹ 10 dlnxxCx x  Ta có thể áp dụng lũy thừa với số mũ thực để biến đổi.  Cho ,ab là những số thực dương, ,ab là những số thực bất kì. Khi đó:   aaaabab  a a a a ab b .aabaab ababaaa     aa bb a a a ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Nguyên hàm của hàm số 3fxxx là Lời giải 324211 42 dxxxxxC . Câu 2: Nguyên hàm của các hàm số ⑴ 32122024 3fxxxx ⑵ 123fxxxx Lời giải