Tiêu đề Chuyên đề 11. Chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN).pdf ✅

Trang 1/68 CĐ11: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GTLN, GTNN Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Dạng 2.1: Bất đẳng thức về chứng minh tổng phân số tự nhiên Dạng 2.2: Bất đẳng thức về chứng minh tổng lũy thừa Dạng 2.3: Bất đẳng thức về chứng minh tích của một dãy Dạng 3: Bất đẳng thức dạng chữ Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất A. Trắc nghiệm (nếu có) Câu 1. (HSG 7 huyện Lạng Giang 2022 - 2023) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 C x x y      2 1 10 với x  0 là: A. 10 B. 11 C. 1 D. 10 Lời giải Chọn A Ta có: x x    0, 0 ;   2 x y     2 1 0, x, y   2         x x y 2 1 0, x 0, y   2           C x x y 2 1 10 10, x 0, y Giá trị nhỏ nhất của C bằng 10 khi:   2 0 0 0 1 2 1 0 2 1 0 2 x x x x y x y y                          Vậy giá trị nhỏ nhất của C bằng 10 khi 1 0; 2 x y   . Câu 2. (HSG 7 huyện Lục Nam - Bắc Giang 2021 - 2022) Cho số x Z  để 2018 2017 x B x    có giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất của B là : A. 1. B. 4 C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn D Ta có: 2018 2017 x B x    2017 1 2017 x x     1 1 2017 x    Suy ra B đạt giá trị lớn nhất khi 2017  x là số dương nhỏ nhất. Mà x là số nguyên  2017 1  x  x  2016 . Khi đó B    1 1 2 . Câu 3. (HSG 7 huyện Thanh Thủy - Phú Thọ 2021 - 2022) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A y y     2 5 là A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 Lời giải Chọn B
Trang 2/68 Ta có: A y y y y         2 5 2 5 Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối: a b a b    . Dấu „=‟ xảy ra khi ab. 0  . Ta có y y y y         2 5 2 5 3 . Dấu „=‟ xảy ra khi  y y y       2 5 0 2 5     A 3 Vậy A có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi 2 5  y Câu 4. (HSG 7 huyện Thanh Thủy - Phú Thọ 2021 - 2022) Với x nguyên, giá trị lớn nhất của biểu thức 2022 2 x A x    là A. 2021 B. 2020 C. 2019 D. 2018 Lời giải Chọn A Ta có: 2022 2020 1 , 2 2 2 x A x x x x           . Để A có giá trị lớn nhất thì 2  x là số nguyên dương nhỏ nhất, hay 2 1 1     x x . Vậy GTLN của A là 2021 khi x  1. Câu 5. (HSG 7 huyện Hoài Nhơn, huyện Nam Trà My, huyện Thăng Bình, trường Đào Duy Từ 2018 - 2019; huyện Lâm Thao 2016 - 2017) Cho   2 a b ab    6 36 . Giá trị lớn nhất của x a b  . là: A. 6 B. 6 C. 7 D. 5 Lời giải Chọn A Ta có   2 a b ab    6 36 Suy ra:   2 6 36 36 ab a b     Suy ra 36 6 ab   ab  6 Dấu “=” xảy ra khi a b    6 Vậy x đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi a b    6 . B. Tự luận Câu 1. (HSG 7 huyện Than Uyên - Lai Châu 2022 - 2023) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2024 4 2022 1 A x    . Lời giải Với mọi x ta có: 2022 1 0 4 2022 1 4 x x       1 1 4 2022 1 4 x     1 1 .2024 .2024 4 2022 1 4 x     2024 506 4 2022 1 x     . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2022 1 0 x   1 2022   x . Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 506 khi và chỉ khi 1 2022 x  .
Trang 3/68 Câu 2. (HSG 7 huyện Lương Tài - Bắc Ninh 2022 - 2023) Cho x thoả mãn: x x x x         2 3 4 5 4 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của x , M là giá trị lớn nhất của x . Tính giá trị của A m M   . Lời giải Áp dụng tính chất: a a  , dấu “=” xảy ra khi a  0 , ta được: x x    2 2 dấu “=” xảy ra khi x   2 0 . x x    3 3 dấu “=” xảy ra khi x  3 0 . 4 4    x x dấu “=” xảy ra khi 4 0   x . 5 5    x x dấu “=” xảy ra khi 5 0  x . Suy ra: x x x x x x x x                 2 3 4 5 2 3 4 5 4 . Dấu “=” xảy ra khi: 2 0 3 0 4 0 5 0 x x x x                   3 4 x . Suy ra 3 là giá trị nhỏ nhất của x , 4 là giá trị lớn nhất của x . Suy ra: A m M    3 4  7 . Câu 3. (HSG 7 huyện Lương Tài - Bắc Ninh 2022 - 2023) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x x x x         1 2 3 23 . Lời giải Ta có: A x x x x          1 2 3 ... 23 thì: A x x x x x x              1 2 .... 11 12 13 ..... 23 . Áp dụng tính chất a a  , dấu “=” xảy ra khi a  0 , ta được: x x    1 1 ; x x    2 2 ; ...; x x    11 11 ; x   12 0 ; 13 13    x x ; ...; 23 23    x x . Suy ra: A x x x x x              1 2 .... 11 0 13 ... 23         23 1 22 2 .... 13 11 0        22 20 18 16 14 .... 2 (22 2).11 2   132 . Dấu “=” xảy ra khi x  12 . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 132 khi x  12 . Câu 4. (HSG 7 trường Bồ Lý 2015 - 2016; huyện Hoàng Hóa; trường Phạm Kính Ân 2022 - 2023) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) A x   1 5 b) 2 2 15 3 x B x    . Lời giải a) Với mọi x , ta có: x   1 0      A x 1 5 5 , dấu " "  xảy ra khi x  1 Vậy MinA x     5 1.
Trang 4/68 b) Ta có:   2 2 2 2 2 15 12 3 12 1 3 3 3 x x B x x x           . Với mọi x , ta có: 2 0 x   2 3 3 x    2 12 12 x 3 3    2 12 4 x 3    2 12 1 5 x 3    . Dấu „=‟ xảy ra khi và chỉ khi x  0 . Vậy GVLN của B là 5 khi x 0 . Câu 5. (HSG 7 huyện Hậu Lộc 2016 - 2017; huyện Bố Trạch, huyện Vị Thanh 2017 - 2018; huyện Hà Đông 2022 - 2023) Cho ba số abc , , thỏa mãn: 0 1 2      a b c và abc   1. Tìm giá trị nhỏ nhất của c. Lời giải Vì: 0 1 2      a b c nên 0      a b c 1 2       ccc 222 . Suy ra: 0 4 3 6   c (vì abc   1 ). Hay 3c 2 2 3    c . Vậy giá trị nhỏ nhất của c là 2 3  khi đó a b   5 3 . Câu 6. (HSG 7 huyện Bình Xuyên - Vĩnh Phúc 2022 - 2023) Cho x là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x x x       2 1 2 2 ... 2 10 . Lời giải Ta có: A x x x       2 1 2 2 ... 2 10 A x x x x x x              2 1 2 10 2 2 2 9 ... 2 5 2 6      A x x x x x x              2 1 10 2 2 2 9 2 ... 2 5 6 2      A x x x x x x             2 1 10 2 2 2 9 2 2 5 6 2       9 7 5 3 1 25 . Dấu = xảy ra khi:          2 1 10 2 0 2 2 9 2 0 ... 2 5 6 2 0 x x x x x x                 1 5 5 9 1 2 ... 5 3 2 x x x                  5 3 2   x . Câu 7. (HSG 7 huyện Triệu Sơn 2022 - 2023) Cho a , b , c là các số thực thảo mãn 2 2 2 abc    2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P ca ab bc    2023 . Lời giải Ta có: P ca ab bc ca b a c       2023 2023  . Có:   2 2 2 x y x y x y xy x y        0 , 2 , . Dấu " "  xảy ra   x y . (*) + Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có:     2 2 2 b a c b a c     .