Tiêu đề Chuyên đề 5_Dãy số_Lời giải.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ 3. DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương *N được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là uun . Ta thường viết nu thay cho un và kí hiệu dãy số uun bởi nu , do đó dãy số nu được viết dưới dạng khai triển 12,,,,nuuu Số 1u gọi là số hạng đầu, nu là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số. 2. Mỗi hàm số u xác định trên tập 1;2;3;;Mm với *mN được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là 12,,,muuu . Số 1u gọi là số hạng đầu, mu là số hạng cuối. 3. Một dãy số có thể cho bằng:  Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng);  Công thức của số hạng tổng quát;  Phương pháp mô tả;  Phương pháp truy hồi. 4. Dãy số nu được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1nnuu với mọi *Nn . Dãy số nu được gọi là dãy số giảm nếu ta có 1nnuu với mọi *nN . 5. Dãy số nu được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho * .  nuMnN Dãy số nu được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho *  .  numnN Dãy số nu được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số ,mM sao cho *  .  nmuMnN B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: a) Gọi nu là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số nu . b) Gọi nv là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số nv . Lời giải a)Số chấm ở hàng thứ nhất là: 11u ; Số chấm ở hàng thứ hai là: 2u2 ; Số chấm ở hàng thứ ba là: 3u3 ; Số chấm ở hàng thứ tư là: 4u4 ;
Vậy số chấm ở hàng thứ n là: nun . b) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là: v vi = 1 = 13; Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là: 3 282v ; Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là: 3 3273v ; Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là: 3 4644v ; Vậy diện tích của các ô màu ở hàng thứ n là: 3 nvn . Câu 2: Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi nP (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng. a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng. b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng. c) Dự đoán công thức của nP tính theo n . Lời giải a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là: 1100100.0,5%6100,56P (triệu đồng). b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là: 2100,56100,560,5%6100,5610,5%6100,510,5%6.10,5%6P (triệu đồng). Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là: 3100,5610,5%6100,5610,5%60,5%6P 22100,5(10,5%)6(10,5%)610,5%6 (triệu đồng). c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:   22 4 332 100,56(10,5%)610,5%6100,56(10,5%)6(10,5%)6]0,5%6 100,5(10,5%)6(10,5%)6(10,5%)610,5%6 P   Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là: 1123 100,5(10,5%)6(10,5%)6(10,5%)6(10,5%)6nnnn nP với mọi * nN . Câu 3: Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như Hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên? Lời giải 123456781;1;2;3;5;8;13;21uuuuuuuu .
Ta có dãy số: 1 2 12 1 :1n nnn u uu uuu       Câu 4: Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức 0,06 1001. 12 n nA    a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai. b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm. Lời giải a) Số tiền ông An nhận được sau 1 tháng: 1 1 0.06 1001100,5 12A    (triệu đồng) Số tiền ông An nhận được sau 2 tháng: 2 2 0,06 1001101,0025 12A    (triệu đồng) b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm: 12 12 0,06 1001106,1678 12A    (triệu đồng) Câu 5: Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng. Gọi nAnN là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng. a) Tìm lần lượt 0123456,,,,,,AAAAAAA để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng. b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số nA . Lời giải a) Ta có: 0 1 2 3 4 5 6 100 1001000,008298,8 98,898,80,008297,59 97,5997,590,008296,37 96,3796,370,008295,14 95,1495,140,008293,90 93,9093,900,008292,65 A A A A A A A        Vậy sau 6 tháng số tiền chị Hương còn nợ là 92,65 triệu đồng. b) Hệ thức truy hồ: 1110.00821.0082nnnnAAAA (triệu đồng) Câu 6: Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo hình thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hảng là 0,5% một tháng. Gọi nP (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng. a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng. b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.
c) Dự đoán công thức của nP . Lời giải a) Số tiền cả gốc và lãi chị Mai có được sau 1 tháng (khi chưa gửi thêm 6 triệu đồng) là: 0,5 1001001001,005100,5 100 (triệu đồng). Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là: 100,5 + 6 = 106,5 (triệu đồng). b) Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 2 tháng là:  106,5 1,0056 = 113,0325  (triệu đồng). Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 3 tháng là: 113,03251,0056119,5976625  (triệu đồng). c) Ta có: 11001,0056P ;   2 21 232 32 1,00561001,00561,00561001,00561,0056; 1,00561001,00561,00561,00561001,00561,00561,0056;; PP PP   Cứ như thế, ta dự đoán được công thức của nP : 12121001,00561,00561,00561001,00561,0051,005.1.nnnnnnnP Câu 7: Với mỗi số nguyên dương n , lấy 6n điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao như Hình 1. Gọi nu là số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số nu . Tìm công thức của số hạng tổng quát nu . Lời giải Ta thấy đường tròn được chia thành 6n cung bằng nhau và mỗi cung có số đo bằng 360 6n    ∘ . Do mỗi điểm được nối với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn nên góc ở đỉnh của mỗi ngôi sao là góc nội tiếp chắn 62.3nn cung bằng nhau đó. Suy ra số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao là 1360180 266n n un nn  . Câu 8: Bác Hưng để 10 triệu đồng trong tài khoản ngân hàng. Vào cuối mỗi năm, ngân hàng trả lãi 3% vào tài khoản của bác ấy, nhưng sau đó sẽ tính phí duy trì tài khoản hằng năm là 120 nghìn đồng.