Tiêu đề Chương 5_Bài 2_ _Đề bài_Toán 12_CD.pdf ✅

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. Phương trình đường thẳng 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Cho đường thẳng  và vectơ u khác 0 . Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của u song song hoặc trùng với  . Nhận xét: Nếu u là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì ku k(  0) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Ví dụ 1. Trong Hình 23, các vectơ AB CD , và AB  có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB hay không? Vì sao? Lời giải Do vectơ AB khác 0 và có giá là đường thẳng AB nên vectơ AB là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . Do các vectơ CD A B ,   khác 0 và có giá lần lượt là các đường thẳng CD A B ,   song song với đường thẳng AB nên hai vectơ đó đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . 2. Phương trình tham số của đường thẳng Hệ phương trình 0 0 0 x x at y y bt z z ct  = +   = +   = + , trong đó abc , , không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng  đi qua M x y z 0 0 0 0 ( ; ; ) và có vectơ chỉ phương u a b c = ( ; ; ) . Ví dụ 2. a) Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm A(2; 1;4 − ) và có vectơ chỉ phương u = − (3;4; 5) .
b) Cho đường thẳng  có phương trình tham số là: 1 2 5 7 9 x t y t z t  = − +   = −  =  ( t là tham số). Chỉ ra tọa độ một vectở chỉ phương của  và một điểm thuộc đường thẳng  . Lời giải a) Phương trình tham số của đường thẳng  là: 2 3 1 4 4 5 x t y t z t  = +   = − +   = − ( t là tham số) b) Tọa độ của một vectơ chỉ phương  là u = − (2; 7;9). Ứng với t = 0 ta có: 1 2.0 1 5 7.0 5 9.0 0 x y z  = − + = −   = − =  = =  Suy ra điểm B(−1;5;0) thuộc đường thẳng  . 3. Phương trình chính tắc của đường thẳng Nếu abc  0 thì hệ phương trình 0 0 0 x x y y z z a b c − − − = = được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua M x y z 0 0 0 0 ( ; ; ) và có vectơ chỉ phương u a b c = ( ; ; ) . Ví dụ 3. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm A(1;3;6) và có vectơ chỉ phương u = (9;2;13). Lời giải Phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm A(1;3;6) và có vectơ chỉ phương u = (9;2;13) là: 1 3 6 9 2 13 x y z − − − = = 4. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước Đường thẳng  đi qua hai điểm ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 A x y z B x y z ; ; , ; ; có: - Phương trình tham số là: ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 1 0 0 1 0 x x x x t y y y y t z z z z t  = + −   = + −  = + −  ( t là tham số). - Phương trình chính tắc là: 0 0 0 1 0 1 0 1 0 x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − (với 0 1 0 1 0 1 x x y y z z    , , ). Ví dụ 4. Lập phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng AB biết A(4;1;2) và B(5;8;6)
Lời giải - Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: 4 1 2 4 1 2 . 5 4 8 1 6 2 1 7 4 x y z x y z − − − − − − = =  = = − − − - Phương trình tham số của đường thẳng AB là: 4 1 7 ( là tham sô). 2 4 x t y t t z t  = +   = +   = + II. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 2 1 2   / / ,  u u cùng phương và 1 1 2 u M M , không cùng phương  1 2  1 1 2 , 0 , 0 u u u M M  =         1 cắt 2 1 2   u u, không cùng phương và 1 2 1 2 u u M M , , đồng phẳng     1 2 1 2 1 2 , 0 , . 0. u u u u M M      =  1 và 2 chéo nhau   u u M M 1 2 1 2 , . 0  . Ví dụ 5. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 2  , trong mỗi trường hợp sau: a) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 5 2 10 : 2 , : 4 2 3 2 1 4 x t x t y t y t z t z t  = + = +     = −  = −      = + = +  ; b) 1 2 2 3 4 2 1 2 : , : 3 2 1 2 1 3 x y z x y z − − + + − −  = =  = = − ; c) 1 2 6 3 3 1 2 : , : 8 2 1 1 2 1 x t x y z y t z t  = + + − −   = =  = +  −  = − −  . Lời giải a) Đường thẳng 1  đi qua điểm M1 (1;2;3) và có u1 = − (5; 1;2) là vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2  đi qua điểm M2 (2;4;1) và có u2 = − (10; 2;4) là vectơ chỉ phương. Ta có: 2 10; 2;4 u u 1 2 = − = ( ) , suy ra 1 2 u u, cùng phương; M M1 2 = − (1;2; 2) và 1 2 5 1  − nên 1 1 2 u M M , không cùng phương. Vậy 1 2   / / . b) Đường thẳng 1  đi qua điểm M1 (2;3; 4− ) và có u1 = (3;2;1) là vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2  đi qua điểm M2 (−2;1;2) và có u2 = − (2;1; 3) là vectơ chỉ phương. Ta có: 2 1 3 2  , suy ra 1 2 u u, không cùng phương; 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 1 1 3 3 2 4; 2;6 , , ; ; 7;11; 1 1 3 3 2 2 1 M M u u   = − − = = − −         − −  
Do u u M M 1 2 1 2 , . 7 . 4 11. 2 1 .6 0 ( ) ( ) ( ) ( )   = − − + − + − =   nên 1 2 1 2 u u M M , , đồng phẳng. Vậy 1  cắt 2  . c) Đường thẳng 1  đi qua điểm M1 (−3;1;2) và có u1 = − (1; 1;2) là vectơ chỉ phương. Đường thẳng 2  đi qua điểm M2 (6;8; 1− ) và có u2 = − (3;2; 1) là vectở chỉ phương. Ta có: 1 2 1 2 ( ) 1 2 2 1 1 1 (9;7; 3), , ; ; 3;7;5 2 1 1 3 3 2 M M u u   − − = − = = −         − −   Do u u M M 1 2 1 2 , . 3 .9 7.7 5. 3 7 0 ( ) ( )   = − + + − =    nên 1 2 1 2 u u M M , , không đồng phẳng. Vậy 1  và 2  chéo nhau. III. Góc 1. Góc giữa hai đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1  và 2  có vectớ chỉ phương lần lượt là u a b c u a b c 1 1 1 1 2 2 2 2 = = ( ; ; , ; ; ) ( ) . Khi đó, ta có: ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos , . a a b b c c a b c a b c + +   = + + + + Nhận xét: 1 2 1 2 1 2 1 2  ⊥   + + = a a b b c c 0 . Ví dụ 6. Tính góc giữa hai đường thẳng 1 2  , biết: ( 1 2 1 1 2 2 1 2 1 4 3 : 2 3 và : 5 , là tham sô). 3 6 x t x t y t y t t t z z  = +  = −    = −  = +     = =   Lời giải Hai đường thẳng 1  và 2  có vectơ chỉ phương lần lượt là u1 = − (1; 3;0), u2 = −( 3;1;0). Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 1. 3 3 .1 0.0 2 3 3 cos , . 4 2 1 3 0 . 3 1 0 − + − +   = = = + − + − + + Suy ra (  =  1 2 , 30 ) . Ví dụ 7. Cho hai đường thẳng 1 2 1 1 2 3 : , : . 3 2 1 1 2 1 x y z x y z − + − −  = =  = = − − Chứng minh rằng 1 2  ⊥  . Lời giải Đường thẳng 1  và 2  có vectơ chỉ phương lần lượt là u u 1 2 = = − − (3;2;1 , 1;2; 1 ) ( ). Ta có: u u1 2 . = − + + − = 3. 1 2.2 1. 1 0 ( ) ( ) . Suy ra 1 2  ⊥  . 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng