Tiêu đề XI - maths - chapter 3 - TRIGONOMETRY UPTO TRANSFORMATIONS(73-109).pdf ✅

MATHS BY Er.RG SIR 1 TRIGONOMETRY UPTO TRANSFORMATIONS WORKEDOUT EXAMPLES: W.E-1:If 3 tan tan 4 2 4 2       y x            then 2 2 3 sin 1 3sin x x    Ans: sin sin y x Sol: 3 1 tan 1 tan 2 2 1 tan 1 tan 2 2 y x y x                Squaring on both sides 3 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin y x y x            Apply componendo and dividendo rule   2 2 2sin 3 sin sin 2 1 3sin x x y x    2 2 3 sin sin 1 3sin sin x y x x    W.E-2:The minimum value of 4 4 2 2 sec sec , tan tan      for all , , 2 k    k Z  is Ans: 8 Sol: Let 2 2 tan , tan     a b We have to determine the minimum value of     2 a b 1 1 b a     where a b, 0      2 2 2 2 1 1 1 1 2 a b a b a b b a b b a a b a                      1 1 2 2 1 1 4 2 4 . . . 4 . a b a b b b a a b a                  4 4 8 W.E-3:If   2 2 tan sin 1 tan sin A B C A A    then tan , tan , tan A C B are in Ans: G.P Sol:   2 2 sin tan 1 sin tan C A B A A          2 2 2 2 sin tan sec tan 1 tan sin tan 1 tan tan tan 1 tan tan C B A B A A A A B A A B              2 sin 1 tan tan tan tan C A B A B     2 2 sin tan tan 1 sin C A B C   2 tan tan tan C A B  W.E-4:If     2 cot cot cot x x y x z    then cot 2 x is equal to (where 4 x    ) Ans:   1 cot cot 2 y z  Sol: 2 cot cot 1 cot cot 1 cot cot cot cot cot x y x z x y x z x                     3 4        cot cot cot cot cot cot 1 cot 0 x y z x y z x       2 2 2 cot 1 cot cot cot 1 cot 1 cot 0 x x y z z z      
JEE MAINS ADVANCED 2   2 cot 1 1 cot cot 2cot 2 x y z x      1 cot 2 cot cot 2 x y z   W.E-5:If       2 2 2 tan tan , tan tan tan tan x y y z and z x    are in A.P then tanx-tany, tany-tanz , tanz-tanx are in Ans: H.P Sol: Let a x y b y z c z x       tan tan , tan tan , tan tan then a b c    0 b a c      2 2 2 b a c ac    2 given 2 2 2 2b a c   , 2 b ac  2   2 2 2     ,    ac ac ac b b b a c a c tanx-tany, tany-tanz , tanz-tanx are in H.P. W.E-6:If tan , tan , tan    are the roots of the equation 3 2 x px r    0 then the value of     2 2 2 1 tan 1 tan 1 tan        Ans:   2 1  p r Sol:  tan , tan tan 0,tan tan tan          p r Required value = 2 2 2 2 2 2 1 tan tan tan tan tan tan                  2 2 1 tan 2 tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan tan tan                         2 2 2        1 2 1 p pr r p r W.E-7:If tan tan    n then the maximum value of   2 tan    is equal to Ans:   2 1 4 n n  Sol:     2 tan tan 1 tan tan 1 tan tan 1 tan n n                  1 tan cot tan n n         cot tan 2     n n       2 2 2 1 tan cot tan n n         maximum value of     2 2 1 tan 4 n n      W.E-8:If   2 2 cos sin sin sin        k then the value of k is Ans: 2 1 sin   Sol: 2 2 x         cos sin cos sin sin Squaring on both sides 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 2 cos sin cos sin cos sin x x             2 2 2 x x        2 cos sin cos sin 0 dividing by 2 cos    2 2 2 x x 1 tan 2 tan sin 0          2 2 2 2 x x x tan 2 tan sin 0        Since tan  is real   0   2 2 2 2 4 4 sin 0 x x x       2 2 2 4 1 sin 0 x x     2 2 x    1 sin 2 x    1 sin W.E-9:The value of 0 0 0 0 2sin 2 4sin 4 6sin 6 ............... 178sin178     Ans: 0 90 cot1 Sol: 0 0 0 0 x     2sin 2 4sin 4 6sin 6 ............... 178sin178     0 0 0 x       2 178 sin2 4 176 sin4 ........ 90sin90 0 0 0      180 sin 2 sin 4 .................. sin 88 90    
MATHS BY Er.RG SIR 3 0 0 0 0 0 0 0 0 sin1 902sin2sin1 2sin4sin1.............. 2s       in88sin1 90sin1   x 0 0 0 0 0 0 0        90 cos1 cos3 cos3 cos5 ...........cos87 cos89 9   0sin1   0 0 0 0 0 0       90 cos1 cos89 sin1 90 cos1 sin1 sin1         0 x  90 cot1 W.E-10: The value of 2sec 3tan 5sin 7cos 5 2 tan 3sec 5cos 7sin 8                  Ans: tan 2        Sol: C S     cos , sin 2 2 2 3 5 7 5 2 3 5 7 8          S CS C C E S C CS C           5 3 7 2 1 7 2 1 5 3          S C C C S C C C    2 2 S C C C      1 1 1 1 1 S C say C S                 1 5 3 1 7 2 7 2 5 3            C C C C S C S C 1 tan 2 C S     W.E-11: Let       0 0 89 1 1 1 cot         f and S f x  Then the value of 2 8 S   Ans: 9 Sol:         sin sin cos x x x f         1 2 f f                   0 0 0 S f f f     1 2 .................. 89                  0 0 0 0 0 0 0         f f f f f f f 1 89 2 88 ............... 44 46 45   1 89 1 1 .............44 2 2      times 2 8 9 S   W.E-12: Let 0 , , ,    a b c d where b c, are not complementary such that 2cos 6cos 7cos 9cos 0 a b c d     and 2sin 6sin 7sin 9sin 0 a b c d     Then the value of     cos cos a d b c    Ans: 7 3 Sol:     2 2 2cos 9cos 6cos 7 cos a d b c      2 2 2 2 4cos 81cos 36cos cos 36cos 49cos 84cos cos 1 a d a d b c b c           2 2 2sin 9sin 6sin 7sin a d b c      2 2 2 2 4sin 81sin 36sin sin 36sin 49sin 84sin sin 2 a d a d b c b c       Adding (1) and (2) 4 81 36cos 36 49 84cos        a d b c        cos 84 7 cos 36 3 a d b c     W.E-13: If x y z t , , , are real numbers such that 2 2 2 2 x y z t and xt yz       9, 4 6 then the greatest value of xz is Ans: 3 Sol: Let x y     3cos 3sin z t     2cos 2sin        6 cos sin 6sin cos 6   0 0 sin 1 90 90              xz         6sin cos 3sin 2 3 W.E14:If , 0, 2 sin sin , 2 cos 3 cos 2 x y and x y x y           then   tan  x y     (where . denote the G.I.F) is Ans: 3
JEE MAINS ADVANCED 4 Sol: sin 1 cos 3 tan , , sin 2 cos 2 tan 3 x x x y y y       2 4 tan tan 1 3tan x x y x    2 sin 2sin cos cos 3 y x y x   2 2 2 2 cos sin cos 4sin 4 1 9 x y y x     , 2 5 tan 27 x        2 tan 15, an 15, tan 3           x y t x y and x y W.E-15: If sec tan tan sec 91 A B A B   then the value of   2 2 sec sec tan tan 91 A B A B   is equal to Ans: 1 Sol:     2 2 S A B A B A B A B     sec sec tan tan sec tan tan sec 2 2 1 sin sin sin sin cos cos cos cos A B A B A B A B                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin sin sin sin cos cos 1 cos cos cos cos A B A B A B A B A B         2 2 sec sec tan tan 91 1 A B A B    W.E-16: If       3 cos cos cos 2              then A) cos 0   B) sin 0   C) cos sin 0     D) cos sin 0    Ans: A,B,C Sol: cos cos sin sin cos cos 2 sin sin cos cos sin sin                        2 2 2 2 2 2 cos sin 0 cos sin cos sin                        2 2 cos cos cos sin sin sin 0               cos 0 sin 0     and W.E-17: If tan tan cot cot , 0               aand b and then A) ab  4 B) ab  4 C)     2 2 4 tan ab ab a b     D)     2 2 4 cot ab ab a b     Ans: A,C Sol: tan tan a b          2 2 2 2 2 2 tan tan tan tan 1 tan tan 4 4 1                                     a a b ab ab a a b b 2 tan 0, 4 0, 4      ab ab W.E-18: 2 sin tan 3 sin tan             then A) 1 tan 3   B) 1 tan 3    C) tan 3   D) tan 3    Ans: A,B,C,D