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CÁLCULO 1 – CE84 SEMANA 9 – SP1 Temario: Sistema de Coordenadas Polares Logro: Al finalizar la sesión de clase el estudiante ubica puntos en coordenadas polares, transforma ecuaciones rectangulares a polares, calcula el área de regiones en coordenadas polares. CONOCIMIENTOS PREVIOS SISTEMA RADIAL Y SEXAGESIMAL ÁNGULO DE UNA VUELTA En el sistema sexagesimal el ángulo de una vuelta mide 360° y en el sistema radial mide 2π radianes. EQUIVALENCIAS USUALES 360° =2π 180° = π/2 90° = π/4 270° = 3π/2 0° = 0 45° = π/4 30° = π/6 60° = π/3 UBICACIÓN ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS Los ángulos trigonométricos dependiendo del sentido de giro pueden ser positivos o negativos, si el giro es en sentido horario los ángulos son negativos y si el giro es en sentido antihorario los ángulos son positivos. Ejemplo: Ejercicio 1: En la figura adjunta determine la medida de cada uno de los ángulos que se indican.
CE84 CÁLCULO 1 2/14 EPE INGENIERÍA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Ejercicio 2: Halle las razones trigonométricas de α 2 2 r x y = + sen y r α = cos x r α = tan y x α = r = 5 4 sen 5 α = 3 cos 5 α = 4 tan 3 α = IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 2 2 sen cos 1 θ θ + = 2 2 1 tan sec + = θ θ 2 2 1 cot csc + = θ θ tan cot 1 θ θ ⋅ = sen tan cos θ θ θ = cos cot sen θ θ θ = 1 csc sen θ θ = 1 sec cos θ θ = SISTEMA DE COORDENADAS POLARES Características: • Elementos: eje polar y polo • Un punto se ubica por el par ordenado: P(r;θ) • r es la distancia de O (polo) a P. • es el ángulo (en radianes) entre el eje polar y el segmento OP. COORDENADAS POLARES ; DE UN PUNTO P Todo punto en el plano polar se determina como la distancia del punto al polo (representada por: r) y con la medida del ángulo (θ ) formado por el eje polar y el rayo OP, siendo dicho ángulo positivo si el giro es en sentido antihorario y negativo si el giro es en sentido horario. Las coordenadas del punto se representan por el par ordenado: ; Cuando escribimos ; significa que el punto se encuentra a r unidades del polo en la dirección opuesta a la que da θ. Ejemplo: Ubique en el plano polar cada uno los siguientes puntos: M(5; ) 4 π , N( 4; ) 2 π − , P(2; ) 6 π − , R( 5; ) − π
CE84 CÁLCULO 1 3/14 EPE INGENIERÍA Ejercicio 3: Ubique en el plano polar cada uno de los siguientes puntos: P(3; ) 4 π ,Q( 3; ) 4 π − , M(4; ) 6 π − , N( 4; ) 6 π − − Observación: • En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene sólo una representación. • En coordenadas polares un punto tiene muchas representaciones. Ejemplo: Ejercicio 4: Ubique los puntos 3 P(3; ),Q( 3; ),R( 3; ) 2 2 2 π π π − − − en el plano polar Halle las coordenadas de los puntos P,Q y R de dos maneras diferentes. P(3; ),Q( 5; ), R( 2; ) 3 2 π π π − 4 3 0 P( 3; ),Q( 5; 0 ),R(2; ) 3 2 π π − − EL SISTEMA POLAR y EL SISTEMA CARTESIANO Si P es un punto cuyas coordenadas polares son ; entonces las coordenadas cartesiana (x; y) de P serán: x r y r = = cos sen θ θ y Si P es un punto cuyas coordenadas cartesianas son (x; y) entonces las coordenadas polares (r; θ) de P serán: 2 2 r x y = + 1 0 si P IC o P IV C tan ..... 1 si P IIC o P IIIC y k k x k θ π −    = ∈ ∈ = +       = ∈ ∈ y x ; ;
CE84 CÁLCULO 1 4/14 EPE INGENIERÍA APLICACIÓN 1: TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Ejemplo: Coordenadas Cartesianas Coordenadas Polares Q(3; 3 3) − 2 2 1 (3) ( 3 3) 36 6 tan ( 3) 3 r π θ −  = + − = =   −  = − =  6 3 −π ( ; ) R( 3;3 3) − 2 2 1 ( 3) (3 3) 36 6 5 tan ( 3) 6 6 r π π θ π π −  = − + = =   −  = − + = + =  5 6 6 π ( ; ) Coordenadas Polares Coordenadas Cartesianas (8; ) 6 P π 8cos( ) 4 3 6 8sin( ) 4 6 x y π π  = =    = =  ( ; ) 4 3 4 Ejercicios 5: Coordenadas Polares Coordenadas Cartesianas (5; ) 2 Q π 5cos( ) 0 2 5sin( ) 5 2 x y π π  = =    = =  ( ; ) 0 0 ( 6; ) 4 S π − 6cos( ) 3 2 4 6sin( ) 3 2 4 x y π π  = − = −    = − = −  ( ; ) − − 3 2 3 2 Coordenadas Cartesianas Coordenadas Polares R( 3; 1) − − 2 2 1 ( 3) ( 1) 4 2 1 7 tan ( ) 3 6 6 r π π θ π π −  = − + − = =   −  = + = + =  − 7 2 6 π ( ; ) P(5;5) 2 2 1 (5) (5) 50 5 2 5 tan ( ) 5 4 r π θ −  = + = =    = =  5 2 4 ( ; ) π