Tiêu đề KNTTVCS-Đại số 12-Chương 1-Bài 2-GTLN, GTNN của hàm số-Chủ đề 6-GTLN, GTNN của biểu thức đại số-LỜI GIẢI.pdf ✅

Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đò thị hàm số Trang 1 CHỦ ĐỀ 6 TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA BIỂU THỨC Câu 1. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y x y     0, 1; 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2 2 P x y x xy x      2 3 4 5 lần lượt bằng: A. 20 và 18 . B. 20 và 15 . C. 18 và 15 . D. 15 và 13 . Lời giải Chọn B. Ta có y x x x        3 1 2 0;2   Khi đó     2 3 2 3 2 P x x x x x x x x x            2 3 3 4 3 5 5 18 Xét hàm số   3 2 f x x x x     5 18 trên đoạn 0;2 ta có:       2 ' 0 ' 3 2 5 1 0;2 f x f x x x x x            f f f 0 18, 1 15, 2 20         Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2 2 P x y x xy x      2 3 4 5 lần lượt bằng 20 và 15. Câu 2. Cho các số thực x , y thõa mãn x y   0, 0 và x y  1. Giá trị lớn nhất M , giá trị nhỏ nhất m của biểu thức 2 2 S x y y x xy     (4 3 )(4 3 ) 25 là: A. 25 191 ; 2 16 M m   . B. 191 12; 16 M m   . C. 25 ; 12 2 M m   . D. 25 ; 0 2 M m   . Lời giải Chọn A. Do x y  1 nên 2 2 2 2 S x y x y x xy y xy       16 12( )( ) 34 2 2 2 2 2           16 12[( ) 3 ] 34 , 1 16 2 12 x y x y xy xy do x y x y xy Đặt t xy  . Do x y   0; 0 nên 2 ( ) 1 1 0 [0; ] 4 4 4 x y xy t       Xét hàm số 2 f t t t ( ) 16 2 12    trên 1 [0; ] 4 . Ta có f t t ( ) 32 2   ; 1 ( ) 0 16 f t t     .
Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đò thị hàm số Trang 2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có: 1 0; 4 1 191 min ( ) 16 16 f t f               ; 1 0; 4 1 25 max ( ) 4 2 f t f               . Vậy giá trị lớn nhất của S là 25 2 đạt được khi 1 1 2 1 1 4 2 x y x xy y                  giá trị nhỏ nhất của S là 191 16 đạt được khi 2 3 2 3 ( ; ) ; 1 4 4 1 2 3 2 3 16 ( ; ) ; 4 4 x y x y xy x y                                   Câu 3. Cho các số thực x , y thoả mãn     2 2 x y xy      4 4 2 32 . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức 3 3 A x y xy x y       3( 1)( 2) là : A. 17 5 5 . 4 m   B. m  16. C. m  398. D. m  0. Lời giải Chọn A. Ta có         2 2 2 x y xy x y x y x y               4 4 2 32 8 0 0 8 3 3 3 A x y xy x y x y x y xy             3( 1)( 2) ( ) 3( ) 6 6 3 2 3 ( ) ( ) 3( ) 6 2         K x y x y x y Đặt t x y   . Do 0 8    x y nên t [0;8] Xét hàm số 3 2 3 ( ) 3 6 2 f t t t t     trên [0;8]. Ta có 2 1 5 ( ) 3 3 3, ( ) 0 2 f t t t f t t          hoặc 1 5 2 t   ( loại) 1 5 17 5 5 17 5 5 (0) 6; ( ) ; (8) 398. Suy ra A 2 4 4 f f f        x 0 1 16 1 4 f t    0 + f t  12 191 16 25 2
Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đò thị hàm số Trang 3 Khi 1 5 4 x y    thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17 5 5 4  Câu 4. Cho hai số thực x y   0, 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện 2 2 ( ) x y xy x y xy     . Giá trị lớn nhất M của biểu thức 3 3 1 1 A x y   là: A. M  0. B. M  0. C. M 1. D. M 16. Lời giải Chọn D. 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 ( )( ) 1 1 x y x y x xy y x y A x y x y x y xy x y                         . Đặt x ty  . Từ giả thiết ta có: 2 2 3 2 2 ( ) ( 1) ( 1) x y xy x y xy t ty t t y          Do đó 2 2 2 1 1 ; 1 t t t t y x ty t t t          . Từ đó 2 2 2 2 1 1 2 1 1 t t A x y t t                    . Xét hàm số   2 2 2 2 2 2 1 3 3 ( ) ( ) 1 1 t t t f t f t t t t t             . Lập bảng biến thiên ta tìm giá trị lớn nhất của A là: 16 đạt được khi 1 2 x y   . Câu 5. Cho a , b là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2( ) ( )( 2) a b ab a b ab      . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức 3 3 2 2 3 3 2 2 4 9 a b a b P b a b a                 là: A. m  10. B. 85 . 4 m  C. 23 . 4 m   D. m  0. Lời giải Chọn C. Với a, b là các số thực dương, ta có: 2 2 2( ) ( )( 2) a b ab a b ab      2 2 2 2        2( ) 2( ) a b ab a b ab a b 1 1 2 1 ( ) 2 a b a b b a a b                    Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta được: 1 1 1 1 ( ) 2 2 2( ) 2 2 2 a b a b a b a b a b b a                            Suy ra: 5 2 1 2 2 2 2 a b a b a b b a b a b a                           . Đặt a b t b a   , 5 2 t  . Ta được: 3 2 3 2 P t t t t t t         4( 3 ) 9( 2) 4 9 12 18.
Đại số 12 - Chương 1 - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đò thị hàm số Trang 4 Xét hàm số: 3 2 f t t t t ( ) 4 9 12 18     với 5 2 t  2 5 ( ) 6(2 3 2) 0, 2 f t t t t        . Suy ra 5 ; 2 5 23 min ( ) 2 4 f t f                . Vậy 23 min 4 P   đạt đươc khi và chỉ khi 5 2 a b b a   và 1 1 a b 2 a b            ( ; ) (2;1) a b hoặc ( ; ) (1;2) a b  Câu 6. Cho hai số thực dương thỏa mãn 1 2; 1 2     x y . Giá trị nhỏ nhất m của biểu thức: 2 2 2 2 1 3 5 3 5 4( 1) x y y x P x y y x x y            A. m  0. B. 85 . 4 m  C. m  10. D. 7 . 8 m  Lời giải Chọn D. Do 1 2; 1 2     x y nên ( 1)( 2) 0 x x    , nghĩa là 2 x x  2 3 . Tương tự 2 y y   2 3 Suy ra 2 2 1 1 3 3 3 3 3 3 4( 1) 1 4( 1) x y y x x y P x y y x x y x y x y                   Đặt t x y   suy ra 2 4  t . Xét 1 ( ) 1 4( 1) t f t t t     , với 2 4  t   2 2 1 1 ( ) 1 4( 1) f t t t      . Suy ra f t t ( ) 0 3    Mà 11 7 53 (2) ; (3) ; (3) 12 8 60 f f f    nên 7 ( ) (3) 8 f t f   . Do đó 7 8 P  Khi x y   1, 2 thì 7 8 P  . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 7 8 Câu 7. Cho x , y là các số thực thỏa mãn x y x y      1 2 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của    2 2 P x y x y x y         2 1 1 8 4 . Tính giá trị M m A. 42 B. 41 C. 43 D. 44 Lời giải Chọn C.       2 2 x y x y x y x y            1 2 1 3 0 3          2 2 2 P x y x y x y x y x y x y                 2 1 1 8 4 2 2 8 4 Đặt t x y t     4 , 1;2    . Ta có:       2 2 2 4 2 f t t t t t t t           4 2 4 2 8 10 8 26 .