Tiêu đề 4. ĐỊNH LÝ PASCAL.doc ✅

CHƯƠNG II C – MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN CHÚ Ý TRONG CÁC KÌ THI CHUYÊN BÀI 4: ĐỊNH LÝ PASCAL Trước hết, ta phát biểu nội dung định lý: Định lý Pascal Cho các điểm cùng thuộc một đường tròn (có thể hoán đổi thứ tự). Gọi PABDE,QBCEF, RCDFA . Khi đó các điểm P, Q, R thẳng hàng. Chứng minh Gọi XEFAB;Y=ABCD;Z=CDEF Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác XYZ đối với các đường thẳng BCQ, DEP, FAR, ta có: CYBXQZ .. CZBYQX1 (1) FZAXRY .. FXAYRZ1 (2) EZPXDY .. EXPYDZ1 (3) Mặt khác theo tính chất phương tích của một điểm đối với đường tròn ta có: YC.YDYB.YA,ZF.ZEZD.ZC;XB.XAXF.XE (4) Nhân (1); (2) và (3) theo vế, ta được: QZRYPXCYBXFZAXEZDY ........ QXRZPYCZBYFXAYEXDZ1 QZRYPXYC.YDZF.ZEXB.XA ..... QXRZPYYB.YAZD.ZCXF.ZE1 (5) Thế (4) vào (5), ta được QZRYPX .. QXRZPY1 Vậy P, Q, R thẳng hàng (theo định lý Menelaus). Đường thẳng PQR ở trên được gọi là đường thẳng Pascal ứng với bộ điểm A, B,C, D, E, E . Bằng cách hoán vị các điểm A, B, C, D, E, F ta thu được rất nhiều các đường thẳng Pascal khác nhau, cụ thể ta có tới 60 đường thẳng Pascal. Chẳng hạn hình vẽ bên minh họa trường hợp các điểm ACEBFD. Ngoài ra khi cho các điểm có thể trùng nhau (khi đó lục giác suy biến thành tam giác, tứ giác, ngũ giác), ví dụ EF thì cạnh EF trở thành tiếp tuyến của đường tròn tại E, ta còn thu thêm được rất nhiều các đường thẳng Pascal khác nữa. Hình vẽ dưới đây minh họa trường hợp các điểm ABCDEE, ABCCDD, AABBCC: Tiếp theo ta đưa ra các bài toán ứng dụng định lí Pascal: Bài 1: (Định lí Newton) Một đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD lần lượt liếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA tại E, F, G, H. Khi đó các đường thẳng AC, EG, BD, FH dồng quy.
Lời giải: Gọi OEGFH,XEHFG . Vì D là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại G, H, áp dụng định lý Pascal cho các điểm E, G, G, F, H, H, ta có: EGFHO, GGHHD, GFHEX.    Suy ra O, D, X thẳng hàng. Áp dụng định lý Pascal cho các điểm E, E, H, F, F,G, ta có: EEFFB, EHFGX, HFGEO.    Suy ra B, X, O thẳng hàng. Từ đó ta được B,O, D thẳng hàng. Vậy EG, FH, BD đồng quy tại O. Chứng minh tương tự đổi với đường thẳng AC ta được điều phải chứng minh. Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn. Gọi D,E lần lượt là các điểm chính giữa của các cung AB, AC ; P là điểm tuỳ ý trên cung BC; DPABQ, PEACR . Chứng minh rằng đường thẳng QR chứa tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Lời giải: Vì D, E lần lượt là điểm chính giữa của các cung AB, AC nên CD, BE theo thứ tự là các đường phân giác của góc  ACB ,  ABC . Suy ra ICDEB . Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm C, D, P, E, B, A, ta có: CDEBI; DPBAQ; PEACR.    Vậy Q, I, R thẳng hàng. Bài 3: (Australia 2001) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O , đường cao đỉnh A, B, C lần lượt cắt O tại A’, B’, C’. D nằm trên O , DA'BCA";DB'CAB";DC'ABC" . Chứng minh rằng: A", B", C", trực tâm H thẳng hàng. Lời giải: Áp đụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A’, D, C’, C, B, ta có: AA'C'CH, A'DCBA", DC'BAC"    Vậy H, A", C" thẳng hàng. Tương tự suy ra A", B", C", H thẳng hàng. Bài 4: (IMO Shortlist 1991) Điểm P thay đổi trong tam giác ABC cố định. Gọi P', P" là hình chiếu vuông góc của P trên AC, BC, Q', Q" là hình chiếu vuông góc của C trên AP, BP, gọi "XPQP"Q . Chứng minh rằng: X di chuyển trên một đường cố định. Lời giải Ta có:  CP'PCP"PCQ'PCQ"P90 Nên các điểm C, P’, Q”, P, Q, P” cùng thuộc một đường tròn. Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm C, P”, Q” , P, Q’, P” ta có:
CP'PQ'A, P'Q''Q Q 'P"X, "PP"CB.    Vậy A, X, B thẳng hàng. Vậy X di chuyển trên đường thẳng AB cố định. Bài 5: (Polattd 1997) Ngũ giác ABCDE lồi thỏa mãn: CD = DE,  BCDDEA90 . Điểm F trong đoạn AB sao cho AFAE BFBC . Chứng minh rằng:  FCEADE, FECBDC . Lời giải: Gọi PAEBC , Q, R lần lượt là giao điểm của AD và BD với đường tròn đường kính PD, GQCRE . Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm P, C, Q, D, R, E, ta có: PCDRB, CQREG, QDEPA.    Vậv A, G, B thẳng hàng. Lại có:       DAG DBG sinGDQ DG.GQ. SAGDG.DA.sinGDQDA.GQDA.sinQRE DG BGSDB.GRDG.DB.sinGDRsinGDRDB.sinRQC DB.GR. DG      DAE DBC SDA.sinQREDA.DE.sinADEAEAGAF FG SBCBGBFDB.sinRQCDB.DC.sinBDC Từ đó dễ dàng có  FCEADE, FECBDC . Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O , A', B', C' là trung điểm BC, CA, AB. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOA', BOB', COC' thẳng hàng. Lời giải: Gọi A", B", G" là trung điểm của OA, OB, OC. I, J, K là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOA', BOB', COC'. Khi đó I là giao điểm của các trung trực của OA và OA', hay chính là giao điểm của B"C" và tiếp tuyến của đường tròn O;OA" tại A". Tương tự với J, K. Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A",A",B",B",C",C" ta có: A"A"B"C"I, A"B"C"C"K, B"B"C"A"J.    Vậy I, J, K thẳng hàng. Bài 7: (China 2005) Một đường tròn cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự tại các điểm D 1 , D 2 , E 1 , E 2 , F 1 , F 2 . DEDFL,EFFDM,FDFEN 112211221112 . Chứng minh rằng AL, BM, CN đồng quy. Lời giải:
Gọi DFDEP,EDEFQ,FEFDR 112211221122 Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm E 2 , E 1 , D 1 , F 1 , F 2 , D 2 ta có: EEFFA, EDFDL, DFDEP.    2112 1122 1122 Suy ra A, L, P thẳng hàng. Tương tự B, M, Q thẳng hàng, C, N, R thẳng hàng. EEDFCADFX FFEDABEDY;DDFEBCFEZ   211212 211212211212 Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm F 1 , E 1 , D 1 , D 2 , F 2 , E 2 ta có: FEDFR, EDFEQ; DDEFZ.    1122 1122 1221 Suy ra Q, R, Z thẳng hàng. Tương tự P, Q, Y thẳng hàng, Z, P, X thẳng hàng. Xét các tam giác ABC, PQR có: XCARP,YABPQ,ZBCQR . Áp dụng định lý Desargues suy ra các đường thẳng APAL,BQBM, CRCN đồng quy. Bài 8: (Định lý Brianchon) Lục giác ABCDEF ngoại tiếp một đường tròn. Khi đó AD, BE, CF đồng quy. Lời giải Ta sẽ chứng minh định lý này bằng cực và đối cực để thấy rằng Pascal và Brianchon là hai kết quả liên hợp của nhau. Gọi các tiếp điểm trên các cạnh lần lượt là G, H, I, J, K, L. Khi đó GH, HI, IJ, ỊK, KL, LG lần lượt là đối cực của B, C, D, E, F, A. Gọi GHJKN,HIKLP,IJLGM Theo Pascal cho lục giác GHIJKL ta có M, N, P thẳng hàng. Mà M, N, P lần lượt là đối cực của AD, BE, CF nên suy ra AD, BE, CF đồng quy tại cực của đường thẳng MNP.