Tiêu đề CHỦ ĐỀ 4. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH.doc ✅

CHỦ ĐỀ 4: LỜI GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ta thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần). Bước 2: Tính các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập. Bước 4: Đối chiếu với điều kiện và trả lời. I. CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Quãng đường = Vận tốc  Thời gian.  Vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian và tỷ lệ thuận với quãng đường đi được.  Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi được là như nhau, Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.  Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B, xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB  Đối với (Ca nô, tàu xuồng) chuyển động trên dòng nước: Ta cần chú ý: Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô = Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước. Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô = Vận tốc riêng – Vận tốc dòng nước. Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng của vật đó bằng 0) Ví dụ 1. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B. Lời giải: Đổi 30 phút = 1 2 giờ. Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h, 0x ). Thời gian xe đi từ A đến B là 24 x (giờ). Đi từ B về A, người đó đi với vận tốc 4x (km/h). Thời gian xe đi từ B về A là 24 4x (giờ) Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình: 24241 . 42xx  Giải phương trình: 21224241 41920 1642 x xx xxx      Đối chiếu với điều kiện ta có vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là 12 km/h. Ví dụ 2. Quãng đường AB dài 120 km. Lúc 7h sáng một xe máy đi từ A đến B. Đi được 3 4 xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 10 km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên 3 4 quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe máy trên 1 4 quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ? (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2015) Lời giải: Gọi vận tốc trên 3 4 quãng đường ban đầu là x (km/h), điều kiện: 10x Thì vận tốc trên 1 4 quãng đường sau là 10x (km/h)
Thời gian trên 3 4 quãng đường ban đầu là 90 x (h) Thời gian đi trên 1 4 quãng đường sau là: 30 10x (h) Thời gian đi cả hai quãng đường là 11 giờ 40 phút – 7 giờ - 10 phút = 9 2 giờ. Nên ta có phương trình: 90309 102xx  Giải phương trình ta được 30x thỏa mãn điều kiện Do đó thời gian đi trên 3 4 quãng đường ban đầu 90 3 30 (giờ) Vậy xe hỏng lúc 10 giờ. Ví dụ 3. Một ca nô xuôi dòng 78km và ngược dòng 44km mất 5 giờ với vận tốc dự định. Nếu ca nô xuôi 13 km và ngược dòng 11 km với cùng vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước. Lời giải: Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h, 0)x Và vận tốc của dòng nước là y (km/h, 0)y Ca nô xuôi dòng đi với vận tốc xy (km/h). Đi đoạn đường 78 km nên thời gian đi là 78 xy (giờ). Ca nô đi ngược dòng với vận tốc xy (km/h). Đi đoạn đường 44 km nên thời gian đi là 44 xy (giờ). Tổng thời gian xuôi dòng là 78 km và ngược dòng là 44 km mất 5 giờ nên ta có phương trình: 784451. xyxy  Ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km nên ta có phương trình: 131112 xyxy  Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 7844 5 2624 . 1311222 1 xyxxyxy xyy xyxy           Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn. Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h. Ví dụ 4. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc dự định trong một thời gian dự định. Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ so với dự định. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian đi tăng hơn 3 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB. Lời giải: Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h, 3)x và thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ, 2).y Khi đó quãng đường từ A đến B dài xy (km). Nếu ô tô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì vận tốc lúc đó là 3x (km/h), khi đó thời gian đi sẽ là: 2y (giờ). Ta có phương trình: 321xyxy Tương tự nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian tăng 3 giờ nên ta có phương trình: 332xyxy
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình   32 33 xyxy xyxy      Giải hệ ta được 15 . 12 x y     Đối chiếu với điều kiện ta thấy thỏa mãn. Vậy quãng đường AB dài là: 12.15180 (km). Chú ý: Trong bài toán này, vì các dữ kiện liên quan trực tiếp đến sự thay đổi của vận tốc và thời gian nên ta chọn là ẩn và giải như trên. Nếu đặt độ dài quãng đường và vận tốc dự định là ẩn số ta cũng lập được hệ hai phương trình hai ẩn và vẫn giải được bài toán, tuy nhiên sẽ khó khăn hơn. II. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG, CÔNG VIỆC Ta cần chú ý: Khi giải các bài toán liên quan đến năng suất thì liên hệ giữa ba đại lượng là: Khối lượng công việc = năng suất lao động x thời gian Ví dụ 1. Một công ty dự định điều động một số xe để chuyển 180 tấn hàng từ cảng Dung Quất vào Thành phố Hồ Chí Minh, mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Nhưng do nhu cầu thực tế cần chuyển thêm 28 tấn hàng nên công ty đó phải điều động thêm một xe cùng loại và mỗi xe bây giờ phải chở thêm 1 tấn hàng mới đáp ứng được nhu cầu đặt ra. Hỏi theo dự định công ty đó cần điều động bao nhiêu xe? Biết rằng mỗi xe không chở quá 15 tấn. (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10, tỉnh Quảng Ngãi 2015) Lời giải: Gọi x (tấn) là số tấn hàng trong thực tế mà mỗi xe phải chở (ĐK: 115,)xxN 1x là số tấn hàng mỗi xe phải chở theo dự định. Số xe thực tế phải điều động là: 18028 x  (xe) Số xe cần điều động theo dự định là: 180 1x (xe) Vì vậy số xe thực tế nhiều hơn dự định là 1 xe nên ta có phương trình: 22208180 1208208180292080 1xxxxxx xx  113x (tm) hoặc 216x (loại vì 15)x Vậy theo dự định cần điều động: 180180 15 1131x  (xe). Ví dụ 2. Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa”, một đội tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định, vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau. (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10, tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu, năm 2015) Lời giải: Gọi x (chiếc) là số tàu dự định của đội *,140xNx Số tàu tham gia vận chuyển là 1x (chiếc) Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định 280 x (tấn) Số tấn hàng trên mỗi chiếc thực tế 286 1x (tấn) Theo bài ra ta có phương trình: 280286 2 1xx   210 28012862141400 14 x xxxxxx xl     Vậy đội tàu lúc đầu có 10 chiếc tàu.
Ví dụ 3. Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thành công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm. Lời giải: Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là x 020.x Thời gian dự kiến người đó làm xong 85 sản phẩm là 85 x (giờ) Thực tế mỗi giờ làm tăng thêm 3 sản phẩm nên số sản phẩm làm được mỗi giờ là 3.x Do đó 96 sản phẩm được làm trong 96 3x (giờ) Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút = 1 3 giờ nên ta có phương trình 85961 33xx  Giải phương trình ta được 15x hoặc 51x Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm 51x . Theo dự định mỗi giờ người đó phải làm 15 sản phẩm. Ví dụ 4. Để hoàn thành một công việc, nếu hai tổ cùng làm chung thì hết 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một tiếp tục làm và đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi hếu làm riêng thì mỗi tổ sẽ hoàn thành công việc này trong thời gian bao nhiêu? Lời giải: Gọi thời gian tổ một làm riêng và hoàn thành công việc là x (giờ, 6)x . Gọi thời gian tổ hai làm riêng và hoàn thành công việc là y (giờ, 6).y Mỗi giờ tổ một làm được 1 x (phần công việc) Mỗi giờ tổ hai làm được 1 y (phần công việc) Biết hai tổ làm chung trong 6 giờ thì hoàn thành được công việc nên ta có phương trình: 661.1. xy Thực tế để hoàn thành công việc này thì tổ hai làm trong 2 giờ và tổ một làm trong 21012 (giờ), ta có phương trình: 12212. xy Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 66 1 . 122 1 xy xy          Giải hệ ta được: 15 10 x y     thỏa mãn điều kiện. Nếu làm riêng thì tổ một hoàn thành công việc trong 15 giờ và tổ hai hoàn thành công việc trong 10 giờ. Nhận xét: Bài toán hai người (hai đội) cùng làm chung – làm riêng để hoàn thành một công việc có hai đại lượng chính là năng suất của mỗi người (hoặc mỗi đội). Ta coi toàn bộ khối lượng công việc cần thực hiện là 1.  Năng suất công việc = 1 : thời gian.  Năng suất chung = Tổng năng suất riêng. Chú ý: Trong bài toán trên có thể thay điều kiện 6x bằng điều kiện 10x hoặc thậm chí là 12x . Có thể thay phương trình (2) bằng phương trình 102 3x vì phần việc còn lại riêng tổ một làm là 2 . 3