Tiêu đề S2 FSA TDS+CORR ALGEBRE SMPC2 19 20.pdf ✅

TDs ALGEBRE-2 SMPC FSA-AGADIR (SMPC S2) 2019-2020 TD+CORR COURS DE SOUTIEN SMPC SMAI ENSEM ENSAJ EST PSI MP Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire ملخص شامل للدروس + تمارين شاملة + تصحيح المتحانات مختارة PHYSIQUE : Mécanique & Thermodynamique & Electricité & Optique & Electrocinetique & Electronique MATH : Analyse & Algèbre & Probabilité & Statistique Veuillez nous contacter : 06-02-49-49-25 par whatsapp :06-38-14-88-74
Université Ibn Zohr Faculté des Sciences Département de Mathématique Agadir Année universitaire 2019-2020 Filière : SMPC (S2) Semestre : Printemps Module : Algèbre 2 Prof : Kamal El Fahri Série n° 1 Exercice 1. 1) Considérons les parties suivantes du R-espace vectoriel R 2 définies par F1 = (x, y) ∈ R 2 x 2 + y 2 = 1 , F2 = (x, y) ∈ R 2 x + y = 0 , F3 = (x, y) ∈ R 2 x 2 = y 2 F4 = (x, y) ∈ R 2 0 6 x · Les parties précédentes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R 2 ? 2) On se place maintenant dans le R-espace vectoriel R 3 , et on se donne les parties suivantes définies par G1 = (x, y,z) ∈ R 3 x + y + π = 0 , G2 = (x, y,z) ∈ R 3 x = y = z et G3 = (x, y,z) ∈ R 3 x − y − z = 0 · Pour chacune des parties Gi ci-dessus, vérifier si elle est un sous-espace vectoriel ou non ? Exercice 2. On désigne par F = F(R,R) le R-espace vectoriel des fonctions de R dans R. Les sous-ensembles suivants de F sont-ils des sous-espaces vectoriels ? F1 = f ∈ F f (1) = 0 , F2 = f ∈ F f (1) = 1 , F3 = f ∈ F f (0) = f (1) F4 = f ∈ F f est bornée et F5 = f ∈ F f est majorée · Exercice 3. Soit F le sous-ensemble du R-espace vectoriel R2[X] B P ∈ R[X] deg(P) 6 2 défini par F = P ∈ R2[X] P(0) = P 0 (0) = 0 · 1. Vérifier que F est un sous-espace vectoriel de R2[X]. 2. Montrer que F = Vect P0 , où P0 est un polynôme de R2[X] à déterminer. Exercice 4. Soient F et G les sous-espaces vectoriels du R-espace vectoriel R 3 définis par F = Vect (1, 1, 0),(0, 1,−2) et G = Vect (2, 1, 2),(1, 0, 2) · Montrer que F = G. Exercice 5. Soient F et G les sous-espaces vectoriels du R-espace vectoriel R 3 définis par F = (x, y,z) ∈ R 3 x = y = 0 et G = (x, y,z) ∈ R 3 x + y − z = 0 · Montrer que F et G sont supplémentaires dans R 3 . 1/2
Exercice 6. 1) Pour chacune des familles du R-espace vectoriel R 2 suivantes, vérifier si elle est génératrice, libre ou si elle constitue une base de R 2 . i) F1 = {(1, 2)}. ii) F2 = {(1, 1),(0, 1),(0, 0)}. iii) F3 = {(1, 0),(−1, 1),(0, 3)}. iv) F4 = {(1, 1),(e, π)}. 2) Même question pour les familles du R-espace vectoriel R 3 suivantes i) L1 = {(1, 1, 0),(2, 1, 2),(1, 0, 2)}. ii) L2 = {(1, 0, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 1)}. Exercice 7. On désigne par F = F(R,R) le R-espace vectoriel des fonctions de R dans R. 1. Montrer que la famille {1, cos,sin} de F est libre. 2. Que peut-on dire de la famille {1, cos2 ,sin2 } de F. Exercice 8. 1) Soit B = {e1, e2, e3} la base canonique de R 3 . On pose : u = e1 + 2e3, v = e3 − e1 et w = e1 + 2e2· Montrer que B0 = {u, v,w} est une base de R 3 . 2) Soit (x, y,z) un élément quelconque de R 3 . Calculer ses coordonnées dans la base B0 . Exercice 9. Soit F la partie du R-espace vectoriel R 3 définie par F = (x, y,z) ∈ R 3 2x + y − z = 0 · 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R 3 . 2. Trouver une base de F. En déduire la dimension de F. 3. Soit G = Vect 0, 0, 1 . Montrer que R 3 = F ⊕ G. Exercice 10. Soit F le sous-ensemble du R-espace vectoriel R2[X] défini par F = P ∈ R2[X] P(1) = 0 · 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R2[X]. 2. Trouver une base de F. En déduire la dimension de F. Exercice 11 (facultatif). Soit le R-espace vectoriel R2[X] B P ∈ R[X] deg(P) 6 2 . 1. Donner sa base canonique et sa dimension. 2. On note P1, P2 et P3 les polynômes suivants P1 = X + 1, P2 = X 2 et P3 = X(X − 1). i. Montrer que B0 = {P1, P2, P3} est une famille libre de R2[X]. En déduire que c’est une base de R2[X]. ii. Soit P = aX2 + bX + c un polynôme quelconque de R2[X]. Calculer ses coordonnées dans la base B0 . 2/2
Corrigé du série n◦ 1 Exercice 1. 1) a) On a évidement (0, 0) ∈/ F1. Par suite, F1 n’est pas un s.e.v. de R 2 . b) La partie F2 est un s.e.v. de R 2 . En effet, • Il est clair que (0, 0) ∈ F2. • Soient (λ, μ) ∈ R 2 et (x, y),(x 0 , y0 ) ∈ F2. Par définition de F2, on a λx + λy = 0 et μx0 + μy0 = 0. D’où par sommation λx + μx0 + λy + μy0 = 0. Ce qui montre que λ(x, y) + μ(x 0 , y0 ) ∈ F2. c) F3 n’est pas un s.e.v. de R 2 car il n’est pas stable pour l’addition. En effet, les points (1, 1) et (−1, 1) sont dans F3. Mais leur somme (1, 1) + (−1, 1) = (0, 2) 6∈ F3. d) F4 n’est pas un s.e.v. de R 2 car F4 n’est pas stable par la multiplication externe. En effet, le point (1, 0) appartient à F4. Mais −(1, 0) = (−1, 0) 6∈ F4. 2) a) On a évidement (0, 0, 0) ∈/ G1. Par suite, G1 n’est pas un s.e.v. de R 3 . b) La partie G2 est un s.e.v. de R 3 . En effet, • Il est clair que (0, 0, 0) ∈ G2. • Soient (λ, μ) ∈ R 2 et (x, y, z),(x 0 , y0 , z0 ) ∈ G2. On a λx = λy = λz et μx0 = μy0 = μz0 . D’où par sommation λx + μx0 = λy + μy0 = λz + μz0 . Ce qui montre que λ(x, y, z) + μ(x 0 , y0 , z0 ) ∈ G2. c) G3 est un s.e.v. de R 3 . En effet, • Il est évident que (0, 0, 0) ∈ G3. • Soient (λ, μ) ∈ R 2 et (x, y, z),(x 0 , y0 , z0 ) ∈ G3. On a λx − λy − λz = 0 et μx0 − μy0 − μz0 = 0. D’où par sommation λx + μx0 − (λy + μy0 ) − (λz + μz0 ) = 0. Ce qui montre que λ(x, y, z) + μ(x 0 , y0 , z0 ) ∈ G3. Exercice 2. a) On a F1 est un s.e.v. de F. En effet, • La fonction nulle 0 est de manière évidente appartient à F1. • Soient (λ, μ) ∈ R 2 et f, g ∈ F1. On a λf(1) = 0 et μg(1) = 0. D’où par sommation (λf + μg)(1) = 0. Ce qui montre que λf + μg ∈ F1. b) F2 n’est pas un s.e.v. de F car la fonction nulle 0 n’est pas dans F2. 1